Теорема Гюйгенса – Штейнера
М
60
относительно
произвольной оси равен сумме момента
инерции
относительно оси, параллельной данной
и проходящей через центр инерции тела,
и произведения массы тела m на квадрат
расстояния a между осями.
Рис. 5.11.
(5.23)
Гюйгенс Христиан (1629 – 1695), голландский физик, механик, математик и астроном, родился в Гааге, учился в университетах Лейдена. Физические исследования в области механики, оптики, молекулярной физики. Решил задачу об определении центра колебаний физического маятника и его периода колебаний, установил законы, определяющие центростремительную силу. Исследовал столкновение упругих тел и вывел его законы.
Пример: Найти момент инерции стержня относительно оси OO’, проходящей через край стержня перпендикулярно его оси (рис. 5.12):
.
.
Рис. 5.12.
5.6. Момент силы
Моментом
силы,
действующей на материальную точку,
относительно начала координат
(рис. 5.13), называется вектор
(5.24)
Продифференцируем момент импульса материальной точки (5.15) по времени
(5.25)
В
ектор
является скоростью, которая совпадает
по направлению с импульсом pi,
поэтому векторное произведение их
равно нулю. Соотношение (5.25) запишем в
виде
Рис. 5.13.
где
- момент силы.
Уравнение (5.26) называется уравнением моментов для материальной точки.
Моментом силы твердого тела относительно начала отсчета называется сумма моментов сил, приложенных к точкам системы относительно начала отсчета:
(5.27)
Сила Fi, действующая на i- ую точку системы, слагается из внешней силы Fiвнеш и суммы внутренних сил fij:
(5.28)
Запишем момент сил в виде
(5.29)
Моменты всех внутренних сил равны нулю, т.к. силы взаимодействия любых двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению. Таким образом, момент всех сил равен суммарному моменту внешних сил:
(5.30)
Продифференцируем момент импульса системы материальных точек L (5.16) по времени и получим уравнение моментов для твердого тела
(5.31)
где M - момент внешних сил.
Пусть ось вращения тела z является одной из главных осей инерции. Найдем проекцию момента импульса системы на ось z
(5.32)
Продифференцируем (5.32) по времени
(5.33)
Проекцию момента всех сил на ось z обозначим Mz. Уравнение моментов относительно оси z запишем в виде
(5.34)
5.7. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
Пусть твердое тело имеет переносную скорость u = 0, т.е. не совершает поступательного движения, тогда из (5.2) следует, что скорость его точек равна
(5.35)
где - мгновенная угловая скорость вращения.
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна
(5.36)
Если оси системы координат направить вдоль главных осей инерции тела, то энергию можно записать в виде
(5.37)
Если ось вращения совпадает с одной из главных осей:
(5.38)
Пусть
теперь переносная скорость тела
тогда кинетическая энергия равна
(5.39)
Например, кинетическая энергия цилиндра радиусом R, катящегося со скоростью u
(5.40)