5.3. Центр масс

Центром масс, или центром инерции системы материальных точек, называется точка, положение которой задается радиус-вектором:

(5.7)

Для случая двух материальных точек, расположенных на оси x (рис. 5.6):

(5.8)

где - координаты точек с массами соответственно;

- координата центра масс.

Покажем, что центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил. Найдем сначала скорость центра масс, для этого продифференцируем (5.7) по времени

Рис. 5.6.

(5.9)

где p - суммарный импульс всех материальных точек тела.

Ускорение центра масс

(5.10)

Если записать второй закон Ньютона для всех точек твердого тела в виде (5.6), то находим

(5.11)

отсюда следует

(5.12)

Ускорение, с которым движется центр масс твердого тела, равно отношению результирующей внешней силы к массе тела.

Движение твердого тела можно рассматривать как движение его центра масс. Поскольку в замкнутой системе сумма внешних сил равна нулю, , то Внутренние силы не могут изменить скорость движения центра масс, поэтому в замкнутой системе

(5.13)

5.4. Момент импульса

Закрепим твердое тело в точке О (рис. 5.7). Угловая скорость вращения твердого тела  Радиус-вектор точки m_i относительно О обозначим r_i Скорость i- ой точки тела

(5.14)

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r_i на вектор импульса p_i:

(5.15)

Рис. 5.7.

Момент импульса L всего тела относительно точки О равен

(5.16)

Моментом импульса относительно оси называется проекция вектора L а эту ось. Запишем (5.16) в виде трех проекций на оси декартовой системы координат:

(5.17)

С учетом того, что из (5.17) получим

(5.18)

где

Аналогично находим остальные величины.

Величины называются осевыми моментами инерции, а и - центробежными моментами инерции.

Момент импульса материальной точки перпендикулярен радиус-вектору r_i и вектору импульса направление его не совпадает с направлением угловой скорости  (рис. 5.8).

Момент импульса твердого тела сложным образом зависит от распределения масс в теле. Если то величины называются главными моментами инерции относительно главных осей, совпадающих с осями координат.

Рис. 5.8.

5.5. Главные моменты инерции

Момент инерции материальной точки относительно оси, совпадающей с осью X можно записать в виде

(5.19)

М

Рис. 5.9.

омент инерции твердого тела относительно этой оси равен сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний от них до оси. Момент инерции тела сложной формы относительно оси OO’ равен сумме моментов инерции тел простой формы относительно данной оси (рис. 5.9).

(5.20)

Если ось X проходит через центр инерции (центр масс) твердого тела простой формы (стержень, диск, шар), то главные моменты инерции этого тела можно найти по формуле:

(5.21)

где  - плотность тела;

- элемент объема, в котором заключена масса

R – расстояние от элемента объема до оси.

Найдем момент инерции стержня относительно оси y. Длину стержня обозначим его поперечный размер b (рис. 5.10).

Рис. 5.10.

Элемент объема стержня Интегрирование по х будем проводить в пределах от –l/2 до l/2:

(5.22)

где - масса стержня.

Главные моменты инерции стержня: . Толщина стержня предполагается малой по сравнению с его длиной.

Главные моменты инерции диска (рис. 5.11):

.

Главные моменты инерции шара: .