§10. Схема Бернулли

Определение. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода - «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью р [0;1], «неудача» — с вероятностью q=1–р и исход каждого последующего испытания не зависит от исходов предыдущих испытаний.

Теорема (Формула Бернулли). Обозначим через число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k=0, 1, …, n

P( =k)=C p^k(1-p)^n-k= C p^kq^n-k.

Доказательство. Событие А={ =k} означает, что в п испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию А элементарных исходов: . Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна p^k(1-p)^n-k.

Другие благоприятствующие событию А элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k успехов на п местах. Есть ровно C способов расположить k успехов на п местах. Поэтому событие А состоит из C элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна p^k(1-p)^n-k.

Наиболее вероятное число успехов.

По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в п испытаниях» имеет вероятность qⁿ, один успех — вероятность npqⁿ и так далее. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком k достигается максимум Р( =k)?

Сравним отношение Р( =k) и Р( =k-1) с единицей.

= = =

=1+ -1=1+ .

Видим, что

1. Р( =k)>Р( =k-1) при пр+р-k>0, то есть при k<пр+р

2. Р( =k)<Р( =k-1) при пр+р-k<0, то есть при k>пр+р;

3. Р( =k)=Р( =k-1) при пр+р-k=0, что возможно лишь если пр+р – целое число.

Рассмотрим два случая: пр+р Z и пр+р Z. В первом случае пусть k₀=пр+р. Из полученных выше неравенств сразу следует, что

…<Р( =k₀-2) Р( =k₀-1) Р( =k₀) Р( =k₀+1)>…

Во втором случае пусть k₀=[np+р] (целая часть числа пр+р, то есть наибольшее целое число, не превосходящее пр+р. Из неравенств (а),(b) следует, что

…<Р( =k₀-2) Р( =k₀-1) Р( =k₀) Р( =k₀+1)>…

Действительно, неравенство Р( =k₀)>Р( =k₀+1) например, следует из (b), примененного для k=k₀+1>пр+р.

Видим, что в зависимости от того, является число пр+р целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k₀=пр+р и k₀-1=пр+р-1, либо одно «наиболее вероятное» число успехов k₀=[пр+р].

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема. В п испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р наиболее вероятным числом успехов является

а) единственное число k₀=[пр+р], если число пр+р не целое;

б) два числа k₀=пр+р и k₀ -1=пр+р-1, если число пр+р целое.

Пример. Если р=q=1/2, то при четном числе испытаний п число пр+р=п/2+1/2 Z - не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов [п/2+1/2]=п/2. Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей - получить 0,1,... ,п успехов, причем вероятности получить k и п-k успехов одинаковы.

При нечетном же числе испытаний п число пр+р=п/2+1/2 Z - целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов п/2+1/2 и n/2-1/2.

Независимые испытания с несколькими исходами.

Рассмотрим следующий пример, когда из двух очень похожих вопросов на один можно ответить, пользуясь формулой Бернулли, а для другого этой формулы оказывается недостаточно:

Пример. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятности следующих событий:

а) выпадет ровно 10 шестерок;

б) выпадет ровно 10 шестерок и три единицы.

Решение:

а) есть 15 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 1/6 (выпадение шестерки). Вероятность десяти успехов в 15 испытаниях равна С ;

б) здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение шестерки, выпадение единицы, выпадение остальных граней. Воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удается - перед нами уже не схема Бернулли.

Выведем формулу для подсчета вероятности каждому исходу в нескольких независимых испытаниях выпасть нужное число раз, если в одном испытании возможно не два, а более исходов.

Пусть в одном испытании возможны m исходов. Обозначим их цифрами 1,2,...,m. Пусть исход i в одном испытании случается с вероятностью p_i, 1≤i≤ m, u =1.

Обозначим через P(n₁,...,n_m) вероятность того, что в n=n₁+...+n_m независимых испытаниях исход 1 появился n₁ раз, исход 2 - n₂ раз, ... , исход m - n_m раз.

Теорема. Для любого п и любых целых n₁≥0,...,п_т≥0 таких, что n₁+…+п_т=п, верна формула:

P(n₁,…,п_т)= .

Доказательство. Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению п₁ единиц, п₂ двоек, ... , п_т раз т-ок:

( ).

Это результат п экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата п независимых испытаний равна .

Все остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел 1,2,... ,т на п местах. Число таких исходов равно числу способов расставить на п местах п₁ единиц, n₂ двоек, ... , п_т чисел т, то есть

C C C …C =

Вернемся к решению примера (б) и выпишем ответ: так как вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1/6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/6, то вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и еще 2 других очка равна

Р(10,3,2)= · .