4.3. Вынужденное движение.

Если на вход САР подается гармонический сигнал , то его можно разложить по формуле Эйлера:

. (33)

Представим . (34)

рассчитываем по выражению .

Заменяем в исходном дифференциальном уравнении s на , тогда с учетом запишем

(35)

Отсюда видно, что коэффициент W – функция от j

частотная передаточная функция, причем (36)

. (37)

В этом выражении

где

Можно представить передаточную функцию в виде

,

тогда

Получаем . (38)

Аналогично с учётом знака

(39)

Т огда (40)

A() - АЧХ.

() - ФЧХ.

W(i) – AФЧХ.

Рис. 28.

При анализе САР широко применяется графический метод.

Вид характеристики для большинства реальных систем показан на рис. 28.

Рис. 29. Вид характеристики для большинства реальных систем

1. При 0 <  < _c А(А(0) и диапазон частот от 0 до _с называется полосой пропускания, где _с – частота среза по уровню Аj() = A(0) или Aj( ) = 0,707 A(0)

2. При  = _m A( принимает максимальное значение и _m называется резонансной частотой.

Очень удобны с практической точки зрения логарифмические частотные характеристики, которые получаются путем логарифмирования W(j): .

L()=20lgA() – логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), дБ.

() – логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ).

Шкалу частот на оси абсцисс разбивают в масштабе lg на октавы и декады.

О ктава – диапазон частот между  и 2: lg 2 - lg = lg 2

Декада – диапазон частот между  и 10  lg 10 - lg = 1

Рис. 30. График логарифмических характеристик

4.2. Реакция сар на произвольный входной сигнал

Выходной сигнал САР можно определить с помощью обратного преобразования Лапласа:

(41)

Если (-t) -  - функция, то F(s)=1 и W(t) = - называется переходной функцией – функцией веса.

(42)

Если и , то

h(t)= - называют переходной характеристикой. (43)

Поскольку W(s) – дробно-рациональная функция , w(t) и h(t) могут быть найдены по формулам обратного преобразования Лапласа

(44)

или по теореме Хевисайда,или формуле вычетов:

(45)

где 1-я сумма распространяется на простые вещественные корни, а 2-я на простые комплексные корни.

При наличии кратных корней необходимо применять дополнительные слагаемые.

Реакция САР на произвольный входной сигнал может быть определена с помощью интеграла свертки.

Любое производное воздействие можно представить ступенчатой линией или совокупностью дискретных значений.

Рис. 31. Совокупность дискретных значений:

где t_i- среднее значение времени в промежутке  t; f(t_i) – значение функции при t=t_i

Используя определение  для смещённого импульса

Рис. 32. Смещённый импульс

можно представить .

Тогда

Xвых(t)= (46)

или, по теореме запаздывания

(47)

Предел при td равен . Учитывая, что при всяком t >; w(t-) = 0, находим Xвых(t)= – интеграл свёртки двух функций f(t), w(t).

На основании свойств коммутативности интеграла свертки можно записать

Xвых(t)= . (48)

Функция W(t) определяет степень воздействия всех предшествующих значений входного сигнала на выходную величину в любой последующий момент времени.

Контрольные вопросы:

1. Каковы составляющие решения неоднородных дифференциальных уравнений одномерной САР?

2. Назовите критерии устойчивости линейной САР?

3. Какую зависимость определяют АЧХ и ФЧХ?

4. Что называют частотой среза?

5. Почему полоса пропускания ограничена уровнем 0.707?

6. Каковы достоинства ЛАЧХ перед АЧХ?

7. По изменению АЧХ судят об увеличении или уменьшении мощности сигнала. Как это изменение отражает ЛАЧХ?

8. Что называют функцией веса?