14.2. Математическое описание дискретных систем.

Рис. 143. График непрерывного сигнла: где x(t) – непрерывный сигнал;

x(k), k=0, 1, 2, … – дискретный сигнал.

Разность первого порядка (1-я разность)

(198)

Разность 2-го порядка

(199)

(200)

Аналогично можно записать

(201)

Приближенное дифференцирование

(202)

(203)

Если на цифровые вычислительные машины возложена задача приближенно воспроизвести дифференциальное уравнение.

,

то, раскрывая производные, получим:

Число является выходом в момент k.. Числа y(k-n+i) и x(k-m+j) характеризуют предыдущие значения выхода и входа цифровой вычислительной машины, запоминаемые в памяти. Это уравнение называют рекурсивным или разностным.

Часто применяется другая форма математического описания дискретных систем

,

где w(m) – весовая временная последовательность, определяемая соотношенинем

(204)

Это соотношение – аналог интеграла свертки.

14.3. Прохождение непрерывного сигнала через цэвм

Схематически разомкнутая САР с ЭВМ представлена на рис. 144.

Кл

Рис. 144. Структурная схема разомкнутой САР с ЭВМ: где Кл- ключевой элемент; АЦП- аналого-цифровой преобразователь; ЦАП- цифро-аналоговый преобразователь; Э- экстраполятор

Х арактеристики АЦП и ЦАП не влияют на динамику системы. Поэтому схема упрощается.

Рис. 145. Упрощённая схема САР

Предполагаем следующее:

1. шаг дискретности  - постоянный;

2. запаздыванием, создаваемым вычислительным процессом, можно пренебречь;

3. ЭВМ выполняет любую линейную операцию;

4. ЭВМ работает в реальном времени;

5. ЭВМ может использовать настоящую и прошлую информацию, но не будущую.

Система, содержащая ЭВМ, квантует сигнал по времени и по уровню. Квантование по уровню создает ошибки 2-го порядка малости, которыми можно пренебречь. Квантование по времени может создавать большие ошибки или привести к потере информации.

Согласно теореме Котельникова, потеря информации не происходит, если , где ₀ – ширина спектра полезного сигнала.

Ключ модулирует дискретный сигнал.

. (205)

ЭВМ преобразует сигнал в другую цифровую последовательность согласно уравнению

(206)

ЦАП преобразует сигнал .

Для управления аналоговыми объектами желательно, чтобы сигнал на выходе представлял собой огибающую , т.е. в интервале k  t  (k+1) ЦАП должен экстраполировать этот сигнал на  вперед. Эту функцию выполняет экстраполятор. Обычно используют полиномиальную экстраполяцию

, (207)

где m-порядок экстраполятора,

Причем при .

Коэффициенты a_m … a₀ каждый раз вычисляются заново по m предыдущих значения .

Экстраполятор 0-го порядка (рис. 145,а)

(208)

Экстраполятор 1-го порядка (оис. 145,б)

(209)

Если , то .

Если , то ,

а) б)

Рис. 145. Экстрополяторы: а) 0-го порядка; б) 1-го порядка

Прохождение сигнала через канал с ЭВМ показано на рис. 146.

g*(t) x_в^*(t)

Рис. 146. График сигнала, проходящего через канал с ЭВМ

Сигнал на выходе импульсного элемента представляет последовательность импульсов, модулированных по амплитуде.

. (210)

Частотный спектр этого сигнала можно определить преобразованием Фурье.

(211)

Установлено, что спектр дискретного сигнала, периодическая функция.

(212)

Рис. 147. Спектр дискретного сигнала

Сигнал g^*(t) преобразуется ЭВМ в дискретный сигнал х^*_b(t), который также имеет периодический бесконечно широкий спектр.

Для сопряжения ЭВМ с последующими непрерывными элементами необходимо сгладить этот сигнал, то есть отфильтровать все частоты кроме первой.

Идеальный фильтр должен иметь АЧХ, изображенную на рис. 148. Но такая характеристика физически не осуществима, однако частично задача решается экстраполятором. Например, экстраполятор 0-го порядка запоминает сигнал на τ_r вперед, то есть имеет переходную характеристику, представленную на рис. 149.

Рис. 148. АЧХ идеального филтра

Рис. 149. Переходная характеристика

Рис. 150.

Такой экстраполятор ослабляет высокочастотные составляющие спектра дискретных сигналов.

Контрольные вопросы:

1. Какие сигналы называют импульсными, цифровыми, релейными?

2. Каково главное отличие дискретных САР от аналоговых?

3. Объясните физический смысл разностного уравнения системы.

4. Какую функцию выполняет экстраполятор в разомкнутой САР с ЭВМ?

5. Какие предложения можно сделать при прохождении сигнала через ЦЭВМ?

6. Почему необходимо устанавливать фильтр для САР с ЭВМ?