Лекция 15.

Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. Z-ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ. ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ АНАЛИЗ

15.1. Z-преобразование

Математическое описание дискретных и цифровых систем наиболее удобно строится на базе Z-преобразования.

Преобразование Лапласа непрерывного сигнала x(t) имеет вид

(213)

Дискретная последовательность, соответствующая x(t),

. (214)

Преобразование по Лапласу этой функции называется дискретным преобразованием Лапласа:

(215)

Дискретное преобразование Лапласа является трансцендальной функцией от S, поэтому оно мало удобно.

Введение новой независимой переменной Z=e^sτ позволяет перейти к рациональной функции

(216)

Обратное Z-преобразование определяют формулой

(217)

где r – некоторый замкнутый контур.

Следует отметить, что Z-преобразование содержит информацию о соответствующей непрерывной функции времени только в дискретные моменты, поэтому оно определяет не непрерывную функцию, а ряд ее последовательных дискретных значений. Значит одному Z-преобразованию может соответствовать множество непрерывных функций.

Р

ис. 151. Z-преобразование

Z-преобразование единичной функции x(t)=1(t) выражается формулой

Z-преобразование последовательности единичных импульсов имеет такой же вид.

Z[e^at]=1+e^aτz^-1+e^2aτz^-2+…

Знаменатель геометрической прогрессии q=e^aτz^-1

Сумма ряда .

Все члены ряда (1) кроме первого, обращаются в ноль, поэтому

Z[δ(k)]=1.

15.2. Свойства z-преобразования

Так как Z-преобразование получается из дискретного преобразования Лапласа заменой переменной, ему присущи:

1. Свойства линейности:

2. Начальное значение

3. Конечное значение

Если V(z) есть Z-преобразование функций [V(k)] и (1-z^-1) V(z) не имеет полюсов за пределами единичного круга и на самом круге, то

.

15.3. Z-передаточная функция дискретной системы

Ранее было показано, что сигнал на выходе дискретных систем

где w(k) – весовая временная последовательной системы.

(218)

С ледовательно, Z-передаточная функция дискретной системы

Для непрерывной части дискретной системы Z-передаточная функция определяется на основе соотношения

Здесь W(t)=α^-1[w(s)] (220)

Z-передаточную функцию ЭВМ можно получить, взяв Z-преобразование от разностного уравнения:

Y(z)=(b₀+b₁z^-1…+b_mz^-m)X(z)-(a₁z^-1+a₂z^-2+…+a_nz^-n)Y(z). (221)

Следовательно

. (222)

15.4. Передаточные функции дискретно–непрерывных систем

Р азомкнутая система

g(t) x_в(t) y(t)

Рис. 152. Структурна схема разомкнутой системы,

где W_В(z)- Z-передаточная функция вычислителя (ЭВМ); W_Э(z)- Z-передаточная функция экстраполятора; W_О(z)- Z-передаточная функция объекта управления

Замкнутая система

g(t) y(t)

^*(t)

r(t)

Рис. 153. Структурна схема замкнутой системы, где W_ОС(z)- Z-передаточная функция обратной связи

(223)

(224)