10.4. Анализ нелинейных систем

Для анализа нелинейных систем применяются методы: фазовых траекторий, припасовывания, гармонической линеаризации, фазовой границы устойчивости и др.

Метод фазовых траекторий

Фазовой плоскостью называется плоскость на которой по двум координатам X и Y откладываются какие-либо две переменные, характеризующие динамику САР, например отклонение регулируемой величины Х и скорость Х=Y=dx/dt.

Уравнение второго порядка удобно свести к системе двух уравнений первого порядка.

. (131)

Для изображения на фазовой плоскости исключается время t, для чего второе делят на первое:

. (132)

Получаем нелинейное дифференциальное уравнение, решение которогоY=F(x) называется фазовой траекторией.

Для САР, линейная часть которой имеет порядок >2, применяются многолистные фазовые плоскости.

Изображения процессов регулирования на фазовой плоскости

1. Периодический незатухающий колебательный процесс.

x(t)= a sin(t), sin² (t) =x² / a²;

y(t)= a cos (t), cos² (t) =y² / a² ².

Рис. 96. Фазовая характеристика

2. Затухающий колебательный процесс.

Устойчивый фокус

Рис. 97. Колебания с убывающей амплитудой

3. Расходящийся колебательный процесс.

Неустойчивый фокус

Рис.98. Колебания с нарастающей амплитудой

4. Затухающие апериодические процессы

Устойвый узел

а) б)

Рис. 99. Затухающие апериодические процессы (а), фазовая траектория затухающего апериодического процесса (б)

5. Расходящиеся апериодические процессы.

Y

а) б)

Рис. 100. Расходящиеся апериодические процессы (а), фазовая траектория расходящегося процесса (б)

Для нелинейных САР могут быть выделены следующие случаи:

1. САР имеет элемент с зоной нечувствительности и насыщением (рис. 101)

Рис. 101. Фазовая траектория САР с зоной нечувствительности и с насыщением

2. САР с устойчивым предельным циклом (рис. 102). Система неустойчива в «малом», устойчива в «большом».

Предельный цикл

Рис. 102. Фазовая траектория с УПЦ

3. САР с неустойчивым предельным циклом (рис. 103). Система устойчива в «малом», неустойчива в «большом».

Рис. 103. Фазовая траектория с НПЦ

4. САР имеет несколько предельных циклов (рис 104)

Рис. 103. Фазовые траектории с двумя предельными циклами

Автоколебания в нелинейных САР

Переходный процесс САР стремится к УПЦ, который называется автоколебательным режимом. Автоколебания происходят с постоянной частотой, амплитудой и поддерживаются за счет поступления энергии от постороннего источника.

САР, в которых амплитуда ПЦ не превышает допустимой величины называются практически устойчивыми. Если амплитуда велика, что не укладывается в допустимые пределы, то она считается практически неустойчивой.

В отдельных случаях автоколебания позволяют добиться положительных качеств, например, устранения зоны нечувствительности (обеспечивание режима динамической смазки).

Если на нелинейную САР действует периодический сигнал, то устанавливается вынужденный колебательный процесс с частотой входного возмущения. Однако в нелинейных САР вынужденные колебания могут существовать лишь при определенных условиях.

Если _возм>ω_а, то автоколебания подавляются, то есть происходит синхронизация – это явление носит название захватывания частоты.

Если _возмω_а, оказывается возможным подавить автоколебания большей амплитуды и малой частоты и превратить САР в устойчивую систему.

Таким образом, подобрав соответствующим образом параметры нелинейной системы, можно превратить ее в практически линейную. Этот способ получил название вибрационной линеаризации.

Линеаризацию можно осуществить также, используя автоколебательный режим САР.

Метод гармонической линеаризации.

Автоколебания в большинстве случаев возможны в нелинейных САР третьего и более высоких порядков. При этом определить частоту и амплитуду бывает очень сложно, поэтому применяется приближенный метод – метод гармонической линеаризации.

Его используют для общего анализа нелинейных САР при выборе структуры и параметров во время регулировки. Сущность состоит в том, что сигнал на выходе разлагается в ряд Фурье и заменется его первой гармоникой. Такая замена справедлива, если САР является фильтром низких частот и эффективно подавляет верхние частоты.

Рис. 104.

t

Синусоида

Рис. 105.

Рис. 106.