6.6. Статические и астатические сар

Статическими называются такие САР, при любом воздействии у которых существует ошибка в установившемся режиме, у астатических ошибка отсутствует.

Для определения точности САР в установившемся режиме рассматриваются типовые управляющие воздействия или , или .

Этим воздействиям соответствуют три вида ошибок: по положению _s, по скорости _v, по ускорению _a.

Определим передаточную функцию ошибки:

(71)

В установившемся режиме производные от выходной величины равны нулю, то есть s=0.

У астатической системы . Это значит , то есть

, (72)

где – интегрирующее звено. (73)

Статические системы будут иметь в установившемся режиме _s,_v, _a.

Астатические системы 1 порядка: _a=0; _v =сonst; _а =сt.

Астатические системы 2 порядка: _a=0; _v =0; _а =с.

Вид передаточных функций для статических САР при s=0.

; ; . (74)

Для астатических САР

; ; . (75)

При увеличении К W_(s) снижается для статических САР однако уменьшается устойчивость.

Контрольные вопросы:

1. Чему равна передаточная функция:

- последовательное соединённых звеньев;

- параллельное соединённых звеньев;

- соединённых встречно-параллельно?

2. Для чего находят передаточную функцию разомкнутой системы?

3. Каким образом может быть построена ЛАЧХ САР? Назовите правила

построения ЛАЧХ.

4. Что такое сопрягающая частота?

5. Что такое порядок астатизма, статическиая точность?

6. К какой системе Вы бы отнесли счётный триггер – статической или

астатической?

Лекция 7. Устойчивость линейных сар. Аналитические и частотные критерии устойчивости сар: гурвица, михайлова, амплитудно-фазовый, d-разбиений. Запасы устойчивости сар

7.1. Устойчивость линейных сар

Система считается устойчивой, если отклонение выходной величины, возникшей в результате внешнего возмущения, по истечении некоторого времени становится меньше заданного:

lim|x_вых(t)|≤ (76)

t→∞.

Таким образом, если САР выведена из состояния равновесия, а затем предоставлена самой себе, то она должна возвратиться в состояние равновесия.

Впервые общее определение устойчивости было дано русским математиком А.М.Ляпуновым. Им предложены теоремы, позволяющие судить об устойчивости динамических линейных и нелинейных систем.

Любая динамическая система может быть представлена системой нелинейных дифференциальных уравнений вида

(77)

После разложения правой части в ряд Тейлора систему дифференциальных уравнений можно представить в виде

(78)

где F_i – нелинейные функции, не содержащие членов ниже 2-го порядка малости.

Если отбросить эти функции, то получаем систему линейных дифференциальных уравнений первого приближения.

Ляпунов разделил все случаи исследовательской устойчивости на некритические и критические. К первым относятся все случаи, когда вопрос об устойчивости однозначно решается на основании исследования уравнений 1-го приближения. Применительно к САР следует рассматривать линеаризованную математическую модель по характеру собственно свободного движения, которое определяется характеристическим уравнением D₃(s)=0.

D₃(p)=0 – характеристическое уравнение.

Ляпунов доказал две теоремы:

1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения 1-го приближения отрицательные, то собственное движение асимптотически устойчиво независимо от членов разложения выше 1-го порядка малости

2. Если среди корней характеристического уравнения 1-го приближения найдется по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то собственное движение неустойчиво независимо от членов разложения выше 1-го порядка малости.

Критические случаи имеют место, когда среди корней имеются корни с нулевой вещественной частью. Тогда вопрос об устойчивости необходимо решать исследованием полного нелинейного дифференциального уравнения.

Рассмотрим характеристическое уравнение линеаризованной САР:

(79)

Случай 1: Корни вещественные и различные

Случай 2: Два корня комплексно-сопряженные

Если α<0, переходный процесс затухает. Система устойчива.

Если α=0, переходный процесс не затухает – границы устойчивости.

Если α>0, переходный процесс нарастает. Система неустойчива.

Случай 3. s_k =0, и все остальные корни с отрицательной вещественной частью.

Тогда х_вых(t)=с_ке^Sкt=с_к и переходный процесс может иметь вид, показанный на рис. 60. Такая система называется нейтрально устойчивой и относится к критическому случаю.

Рис. 60. Переходный процесс

Корни уравнений 2-3 порядков определяются сравнительно легко. В более сложных случаях используются специальные методы, позволяющие судить об устойчивости без решения характеристических уравнений. Такие косвенные показатели получили название критериев устойчивости. Они делятся на две группы: алгебраические и частотные.