Вычисление s() производится на основании соотношения

. (156)

_{В узкой области частот }

, (157)

следовательно,

. (158)

X(t) X_i (t)

Рис. 123.

11.4. Реакция линейной сар на случайный стационарный входной сигнал

Рис. 124.

(159)

(160)

Также справедливо соотношение

, (162)

Где (163)

При перемножении левых и правых частей этих выражений получим

(164)

или

. (165)

Используя ранее полученный результаты, получим при T  

. (166)

Определим взаимную спектральную плотность входного и выходного сигналов (y(t) – выходной сигнал):

. (167)

Представим первое выражение в виде

. (168)

Если на вход САР подать «белый шум» S_x() = 1, то

. (169)

Учитывая и , получаем .

Контрольные вопросы:

1. Приведите пример неизвестного (случайного) управляющего и возмущающего воздействия в САР. По каким причинам возникают помехи?

2. На основании каких данных происходит анализ системы со случайными воздействиями?

3. Что называют стохастичеким прцессом?

4. Какой процесс называют эргодическим?

5. Как увеличение, уменьшение значения корреляционной функции отражает изменение значения случайной величины?

6. Назовите свойства корреляционной функции.

7. Как связаны корреляционная функция и спектральная плотность?

8. Назовите свойства спектральная плотности.

ЛЕКЦИЯ 12.

СИНТЕЗ САР ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

(ФИЛЬТРЫ ВИНЕРА)

12.1. Синтез САР при случайных входных воздействиях

Основная задача синтеза состоит в обеспечении максимальной точности САР или уменьшения ошибок.

С хема САР при наличии случайных помех показана на рис. 125.

Рис. 125. Схема САР: где m(t) – управляющая сила; n(t) - помеха

Ошибки САР состоят из двух составляющих: ₁(t) – погрешности САР, ₁(t) – реакция на помехи.

Спектральные плотности:

; (170)

; (171)

. (172)

Рис. 126. Графики спектральных плотностей

Возможны три варианта решения задачи синтеза:

1. если спектр полезного сигнала меньше спектра помех.

Полоса пропускания системы W(j должна быть выбрана достаточно широкой для увеличения точности системы, но не должна захватывать спектра частот помехи;

2. если m(t) имеет быстро убывающий низкочастотный спектр, а S_n()  const. В этом случае W₂(j) должна быть близкой к S_n();

3. если S_m()  S_n() или накладывается. Задачу решают методом компромисса, например W₁(j). Критерием качества является min ²(t).

Существует несколько методов оптимизации САР. Рассмотрим метод, предложенный Н. Винером.

На вход САР подается управляющее воздействие (полезный сигнал) m(t) с наложенным на него сигналом помехи n(t), так что входной сигнал (t) = m(t) + n(t). Схема задачи показана на рис. 127.

Рис. 127. Методи Винера

Где на рис. 127 m(t), n(t) – стационарные случайные сигналы с известными корреляционными функциями и нулевыми средним значениями.

САР должна осуществить линейное преобразование полезного сигнала m(t) на входе в сигнал h(t) на выходе согласно формуле

. (173)

Требуется найти ИПФ w(t), удовлетворяющую условию физической осуществимости (w(t) = 0) при t < 0 и обеспечивающую минимум среднего значения квадрата ошибки

, (174)

Учитывая, что , получим

Раскрыв фигурные скобки и поменяв порядок интегрирования, получим три слагаемых:

; (175)

(176)

(177)

Так как w(t) = 0, t < 0, то нижний предел интегрирования можно принять равным нулю, тогда

(178)

Доказано, что w(t) обращает в минимум, если она является решением интегрального уравнения

(179)

Н. Винером получено решение этого уравнения относительно искомой передаточной функции:

(180)

где (j) и *(j) определяются как комплексно сопряженные части выражения для спектральной плотности.

. (181)

Определение  и * производится методом факторизации, т.е. разложения на множители.

Учитывая, что S_() – четная, симметричная функция, имеющая комплексно сопряженные корни, находим

(182)

где ,

Первое выражение, содержащее все нули и полюсы в верхней полуплоскости, обозначается (), а второе в нижней полуплоскости *().