8.1. Анализ качества линейных сар

Задача анализа качества процесса регулирования заключается в нахождении ряда показателей, характеризующих переходную характеристику системы и названных первичными показателями качества.

Вычисление переходных процессов, с математической точки зрения, сводится к отысканию общего решения неоднородных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях и воздействиях. Эта задача для дифференциальных уравнений выше 3 порядка становится чрезвычайно сложной, поэтому используются приближенные методы, не требующие решения данных уравнений.

При анализе качества требуется установить, находится ли переходный процесс внутри области допустимых по техническому заданию значений.

Используются следующие методы анализа качества линейных САР:

- частотный метод основан на рассмотренном преобразовании Лапласа х-вых (s) при s=jω, а также на связи между частотными характеристиками замкнутых (разомкнутых) систем и переходными характеристиками;

- корневого годографа. Метод не требует определения корней характеристического уравнения, является графоаналитическим;

- логарифмического корневого годографа;

- интегральных оценок. Это косвенный метод основанный на вычислении определенных интегралов по времени. Эффективен при использовании ЭВМ.

Только частотный метод позволяет напрямую определять первичные показатели качества, основываясь на характеристиках, полученных при анализе устойчивости.

8.2. Частотный метод

Показатели качества представлены на графике (рис. 75).

Рис. 75. Показатели качества

1. Установившееся значение Х_уст. = Х(∞) определяет статическую точность системы.

Е_уст =Х_bx –Х_{уст .}

2. Время перехода процесса Т_п.п. определяется как наименьшее значение интервала времени, в течение которого [X(t)-X_уст] ≤Δ, где Δ заданная постоянная малая величина (обычно Δ = 0,05Х_уст)

3. Положительное перерегулирование

4. Число колебаний N величины X(t) в течение времени Т_п.п.

Система обладает необходимым качеством, если х(t) не выходит за пределы допускаемых значений согласно схеме.

Рис. 76. Коробочка Солодовникова

Найдём связь между переходной h(t) и частотной w(j) характеристиками замкнутой САР.

Ранее было установлено:

(89)

где w(s) – функция веса, или переходная функция.

Полагая

. (90)

При

(91)

Преобразование Фурье функции

(92)

Обратное преобразование Фурье

(93)

Учитывая, что для замкнутых САР

, (94)

(95)

Получим

(96)

Подставив значения

получим

. (97)

Так как – чётная функция, второй интеграл от нечётной функции имеет равные пределы, то он равен 0, а от чётной функции удвоенному интегралу, поэтому

(98)

После обратной подстановки по формулам

(99)

Учитывая, что при ;

(100)

После сложения выражений 99 и 100 получим

(101)

после вычитания

(102)

Определим переходную характеристику на основе интеграла свертки

. (103)

Так как то

(104)

Аналогично можно получить

(104)

Эти выражения определяют переходную характеристику по вещественным частотным характеристикам.

Переходная характеристика обладает следующими свойствами:

1. линейности.

Если , то ;

2. масштабируемости по оси ординат:

;

3) изменение масштаба по оси абсцисс:

.

Замечание: Чем шире P₃(ω), тем уже h(t).