II. 11. Показатель преломления среды.

Показатель преломления среды n показывает, во сколько раз скорость света в вакууме ( м/с) больше, чем в данной среде.

(4.12)

Дисперсия света – совокупность оптических явлений, обусловленных зависимостью показателя преломления вещества от частоты световой волны и ее волнового вектора k.

Примеры решения задач.

Задача 1. На диафрагму с круглым отверстием радиусом 1 мм нормально падает параллельный пучок света длиной волны =0,5 мкм. На пути луча, что прошли через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние b_max от центра отверстия к экрану, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.

Дано:

r=1 мм=10^-3 м

=0,5 мкм=5∙10^-7 м

b_max-?

Рис. 4.1

Расстояние, при котором будет видно темное пятно, определяется числом зон Френеля, которые укладываются в отверстие. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины будет темное пятно. Число зон Френеля, которые помещаются в отверстии, уменьшается по мере отдаления экрана от отверстия. Меньше четное число зон равняется двум. Итак, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется условием, соответственно которого в отверстии должны поместиться две зоны Френеля.

Из рисунка 4.1 вытекает, что расстояние от точки наблюдения О на экране до края отверстия на 2∙( /2) большее, чем расстояние R₀= b_max. По теореме Пифагора получим:

r²=(b_max+2/2)²- b_max²=2b_max+ ²

Учтем, что << b_max и пренебрегая ² получим

r²=2b_max

откуда

b_max= r²/2 =(10^-3)²/2∙5∙10^-7=1 м

Ответ: максимальное расстояние, при котором еще наблюдается темное пятно, равняется 1 м.

Задача 2. На расстоянии а=1 м перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом R=1мм находится точечный источник света с длиной волны =5∙10^-7 м. Отстань от диафрагмы к точке наблюдения b=2 м. Определить: 1) число зон Френеля в отверстии; 2) максимум или минимум интенсивности будет в центре дифракционной картины.

Дано:

R=1 мм=10^-3 м

а₁=1 м

=5∙10^-7 м

b=2 м

k-?

Рис.4.2

Физическую систему составляет световая волна и диафрагма с круглым отверстием. Поскольку источник света находится на довольно близком расстоянии от диафрагмы, то световые волны будут сферическими, а явление, которое наблюдается на отверстии - дифракция Френеля.

Разобьем изображенную на рисунке 4.2 волновую поверхность Ф световой волны на зоны Френеля, что представляют собой сегменты радиусом r_k и высотой h_k. Из рисунка видно, что r_k можно выразить через два прямоугольных треугольника SCK, PCK:

r_k²=а²-(а-h_k)²

r_k²=b_k²-(b+h_k)²

где b_k - расстояниеот внешнего края k-ї зоны до точки Р

(b_k=b+k∙ /2)

а²-а²+2аh_k- h_k²= b_k²-b ²-2bh_k-h_k²

2аh_k+2bh_k=b_k²-b

h_k=(b_k-b)/2(а+b)

учитывая то, что

b_k²=b²+kb+(k² ²)/4=b²+kb

(k² ²)/4 0, получаем

h_k.=(kb)/2(а+b), тогда

r_k²=а²-(а-h_k)²=2аh_k-h_k² 2h_kа

h_k² 0

r²=2аk b/2(а+b)

Поскольку радиус k - зоны Френеля совпадает с радиусом внешней k зоны Френеля r_k=R:

k=((а+b)R²)/аb k =((1-2)∙(10^-3)²)/1∙2∙5∙10^-7=3

Ответ: в отверстии укладываются три зоны Френеля, и так, в т. Р будет максимум дифракционной картины.

Задача 3. Посредине между точечным источником монохроматического света с длиной волны =550 нм и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии 5 г от источника. Определить радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец, которые наблюдаются на экране, будет наиболее темной.

Дано:

а= b=2,5 м

=550 нм=5,5∙10^-7 м

r-?

Пусть отверстие диафрагмы открывает k зон Френеля (см. рис. 4.2). Тогда радиус k-ї зоны Френеля есть не что другое, как радиус отверстия равный

r_k=

r_k= м

Ответ: радиус отверстия в диафрагме 1,17 мм.

Задача 4. На щель шириной а=0,1 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны =500 нм. Дифракционная картина проектируется на экран, параллельный плоскости щели, с помощью линзы, расположенной вблизи щели. Определить расстояние от экрана к линзе, если отстань между двумя первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от центрального максимума, равняется 1 см.

Дано;

а=0,1 мм=10^-4 м

=500 нм=5∙10^-7 м

l =1 см=10^-2 м

k=1

L-?

Рис. 4.3.

Условие дифракционных минимумов от одной щели, на которую падает нормально свет:

аsin = k ,

где k=1 по условию задачи. Из рисунка 4.3 вытекает, что

l =2Ltg ,

но поскольку l /2<<L, то tg sin

sin = l /2L

Подставляя значения sіn в условие дифракционных минимумов от одной щели, получаем а l /2L=

L=a l /2

L=10^-4∙10^-2/2∙5∙10^-7=1 м

Ответ: расстояние от экрана к линзе равняется 1 м.

Задача 5. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны =550 нм. На экран, который находится от решетки на расстоянии L=1м, с помощью линзы, расположенной вблизи решетки, проектируется дифракционная картина, причем первый главный максимум наблюдается на расстоянии l =12 см от центральных. Определить: 1) период дифракционной решетки; 2) число штрихов на 1 см ее длины; 3) максимальное число максимумов, который дает решетка; 4) угол дифракции, которая отвечает последнему максимуму.

Дано:

=550 нм=5,5 *10^-7 м

L=1 м

k=1

l =12 см=0,12 м

l’=1 см=0,01 м

d-? n-? N-? _max-?

Рис.4.4

Период дифракционной решетки найдем из условия главного максимума:

dsin =k

где k=1 - порядок спектра.

Из рисунка 4.4 вытекает, что tg = l/L, так как l <<L, то

tg  sіn и выражение можно записать:

d l /L= d= L/ l

Число штрихов на 1 см:

n= l’/d=0.01/4.58∙10^-6=2.18∙10³ м^-1

Поскольку наибольший угол отклонения лучей решеткой не может быть более 90⁰ (/2), тогда максимальное значение k_max можно найти из условия:

dsin

Естественно, что число k должно быть целым. Общее число максимумов, которое дает дифракционная решетка равняется:

N=2k_max+1

так как максимумы наблюдаются как по правую сторону так и по левую сторону от центрального максимума (единица учитывает центральный максимум):

N=(2d/ )+1=(2∙4.58∙10^-6/5.5∙10^-7)+1=17

Угол дифракции, которая отвечает последнему максимуму, найдем, записав условие максимумов от дифракционной решетки в виде:

dsin откуда

Ответ: период дифракционной решетки d=4,58 мкм, число штрихов на 1 см длины решетки n=2,18∙103 см^-1; максимальное число максимумов N=17; угол дифракции, которая отвечает последнему максимуму 73,9⁰.

Задача 6. Дифракционная решетка длиной l =5 мм может различить в первом порядке две спектральных линии натрия ₁=589,0 нм и ₂= 589,6 нм. Определить, под каким углом в спектре третьего порядка будет наблюдаться свет с ₃=600 нм, что падает на решетки нормально.

Дано:

l =5 мм=5∙10³ м

₁=589,0 нм=5,89∙10^-7 м

₂=589,6 нм=5,896∙10^-7 м

₃=600 нм=6∙10^-7 м

k₁=1

k₂=3

-?

Для нахождения искомого угла запишем условие дифракционного максимума (см. рис.4.4):

dsin =k_{3 3}

откуда

 =arcsin (k₃ ₃/ d) (1)

Период дифракционной решетки

d= l/N

где N - общее число штрихов дифракционных решеток.

Найдем N из формулы разрешающей способности дифракционных решеток,

R=k₁N= ₁/Δ

где

Δ =₂ -  ₁

тогда

N= ₁/k₁Δ

и

d= l k₁Δ / ₁ (2)

Подставив (2) в (1), найдем искомый угол:

=arcsin(k₃ ₃ ₁/k₁Δ

=arcsin(3∙6∙10^-7∙5.89∙10^-7/5∙10^-3∙1∙0.006∙10^-7)=20⁰42’

Ответ: свет в спектре третьего порядка будет наблюдаться под углом 20⁰42'.

Контрольные задания.

1. Зная формулу радиуса k-ї зоны Френеля для сферической волны, вывести соответствующую формулу для плоской волны.

2. Точечный источник S света (=0,5 мкм) - плоская диафрагма с круглым отверстием радиусом r=1 мм. Определить расстояние b от экрана до диафрагмы, при котором отверстие открывало бы для точки Р три зоны Френеля.

3. Точечный источник света (=0,5 мкм) расположенный на расстоянии a=1м перед диафрагмой с круглым отверстием диаметром d = 2мм. Определить расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения, если отверстие открывает три зоны Френеля.

4. Определить радиус третьей зоны Френеля, если расстояние от точечного источника света (= 0,6 мкм) до волновой поверхности и от волновой поверхности до точки наблюдения равны 1,5 м.

5. На диафрагму с круглым отверстием диаметром d=5мм падает нормально параллельный пучок света с длиной волны = 0,6 мкм. Определить расстояние от точки наблюдения до отверстия, если отверстие открывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля.

6. Определить радиус третьей зоны Френеля для случая плоской волны. Расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения равняется 1,5м. Длина волны = 0,6 мкм.

7. Определить радиус четвертой зоны Френеля, если радиус второй зоны Френеля для плоского волнового фронта равняется 2 мм.

8. Определить радиус первой зоны Френеля, если расстояние от точечного источника света (=0,5 мкм) до зонной пластинки и от пластинки до места наблюдения а=b=1 м.

9. Ha зонную пластинку падает плоская монохроматическая волна (=0,5 мкм). Определить радиус первой зоны Френеля, если расстояние от зонной пластинки до места наблюдения b = 1м.

10. Зонная пластинка дает изображение источника, размещенного от нее на 2м, на расстоянии 1м от своей поверхности. Где выйдет изображение источника, если его удалить в бесконечность?

11. Дифракция наблюдается на расстоянии 1м от точечного источника монохроматического света (=0,5 мкм). Посредине между источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Определить радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец на экране будет наиболее темным.

12. Сферическая волна, которая распространяется из точечного монохроматического источника света ( =0,6 мкм), встречает на своем пути экран с круглым отверстием радиусом г=0,4мм. Расстояние а от источника до экрана равно 1м. Определить расстояние от отверстия до точки экрана, который лежит на линии, соединяющей источник с центром отверстия, где наблюдается максимум освещенности.

13. На экран с круглым отверстием радиусом г=1,5мм нормально падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны =0,5 мкм. Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии b=1,5м от него. Определить: 1)число зон Френеля, которые укладываются в отверстии; 2) темное или светлое кольцо наблюдается в центре дифракционной картины, если в месте наблюдения помещенный экран.

14. На экран с круглым отверстием радиусом г=1,2мм нормально падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны  =0,6 мкм. Определить максимальное расстояние от отверстия на его оси, где еще можно наблюдать наиболее темное кольцо.

15. Дифракция наблюдается на расстоянии от точеного источника монохроматического света ( =0,5 мкм). Посредине между источником света и экраном находится непрозрачный диск диаметром 5мм. Определить расстояние l , если диск закрывает только центральную зону Френеля.

16. На щель шириной а=0,05мм падает нормально монохроматический свет (=0,6 мкм). Определить угол  между начальным направлением пучка света и направлением на четвертую темную дифракционную полосу.

17. На щель шириной а=0,1мм падает нормально монохроматический свет (=0,5 мкм). За щелью помещенная собирающая линза в фронтальной плоскости где находится экран. Что будет наблюдаться на экране, если угол дифракции равняется: 1) 17'; 2) 43'.

18. На узкую щель шириной а=0,05мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны =694 нм. Определить направление света на вторую светлую дифракционную полосу (относительно начального направления света).

19. На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Его направление на четвертую темную дифракционную полосу составляет 2°12'. Определить, сколько длин волн укладывается на ширине щели.

20. На щель шириной а=0,1мм падает нормально монохроматический свет (=0,6 мкм). Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположенный параллельно щели на расстоянии l =1 м. Определить расстояние b между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от центрального фраунгоферова максимума.

21. На щель шириной а=0,1 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны =0,5 мкм. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном параллельно щели. Определить расстояние от щели к экрану, если ширина центрального дифракционного максимума b = 1 см.

22. Монохроматический свет с длиной волны =0,6 мкм падает на длинную прямоугольную щель шириной а=12 мкм под углом =45⁰ к ее нормали. Определить угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны от центрального Фраунгоферова максимума.

23. Монохроматический свет падает на длинную прямоугольную щель шириной а=12 мкм под углом =30⁰ к ее нормали. Определить длину волны света, если направление на первый минимум (m=1) от центрального Фраунгоферова максимума составляет 33⁰.

24. Сколько штрихов на каждый миллиметр содержит дифракционная решетка, если при наблюдении в монохроматическом свете (=0,6 мкм) максимум пятого порядка отклоненный на угол =18⁰?

25. На дифракционную решетку с периодом d = 10 мкм под углом =30⁰ падает монохроматический свет с длиной волны =600 нм. Определить угол дифракции соответствующий второму главному максимуму.

26. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновского излучения (=147 пм). Определить расстояние d между атомными плоскостями кристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается, если излучение падает под углом  =31⁰30' к поверхности кристалла.

27. Какая длина волны монохроматического рентгеновского излучения, которое падает на кристалл кальцита, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается, если угол между направлением падающего излучения и гранью кристалла равняется 30⁰. Расстояние d между атомными плоскостями кристалла принять равным 0,3 нм.

28. Параллельный пучок рентгеновского излучения падает на грань кристалла. Под углом =65⁰ к плоскости грани наблюдается максимум первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристалла 280 пм. Определить длину волны рентгеновского излучения.

29. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет с длиной волны =600 нм. Определить наибольший порядок спектра, полученный с помощью этой решетки, если постоянная d = 2 мкм.

30. На дифракционную решетку длиной l =1,5 мм, что содержат N=3000 штрихов, падает нормально монохроматический свет с длиной волны =550 нм. Определить: 1) число максимумов, которые наблюдаются в спектре дифракционной решетки; 2) угол, который отвечает последнему максимуму.

31. Определить число штрихов на 1мм дифракционной решетки, если угловые  =30⁰ отвечает максимум четвертого порядка для монохроматического света с длиной волны =0,5 мкм.

32. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет с длиной волны =0,5 мкм. На экран, который находится от решетки на расстоянии L=1м, с помощью линзы, расположенной возле решетки, проектируется дифракционная картина, при чем первый главный максимум наблюдается на расстоянии l =15 см от центральных. Определить число штрихов на 1 см дифракционной решетки.

33. Монохроматический свет нормально падает на дифракционную решетку. Определить угол дифракции, которая отвечает максимуму четвертого порядка, если максимум третьего порядка отклоненный на 1=180.

34. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет. Определить угол дифракции для линии 0,55 мкм в четвертом порядке, если этот угол для линии 0.6 мкм в третьем порядке составляет 300.

35. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет. В спектре, полученном с помощью этой дифракционной решетки, некоторая спектральная линия наблюдается в первом порядке под углом  =11⁰. Определить высочайший порядок спектра, в котором может наблюдаться эта линия.

36. Определить длину волны монохроматического света, который падает нормально на дифракционную решетку, которые имеют 300 штрихов на 1 мм, если угол между направлениями на максимумы первого и второго порядков составляет 12⁰.

37. Определить толщину плоскопараллельной стеклянной пластинки (n=1,55), на которой в отраженном свете наблюдается максимум второго порядка (= 0,65 мкм) под тем же углом, что и для дифракционной решетки с постоянной d = 1 мкм.

38. На дифракционную решетку с постоянной d=5 мкм под углом  = 30⁰ падает монохроматический свет с длиной волны = 0,5 мкм. Определит угол дифракции  для главного максимума третьего порядка.

39. Узкий параллельный пучок рентгеновского излучения с длиной волн =245 пм падает на естественную грань монокристалла каменной соли. Определить расстояние d между атомными плоскостями монокристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается при падении излучения к поверхности монокристалла под угол скольжения  = 61⁰.

40. Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на грань кристалла с расстоянием d между его атомными плоскостями 0,3 нм. Определить длину волны рентгеновского излучения, если под углом = 30⁰ к плоскости грани наблюдается дифракционный максимум первого порядка.

41. Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны =245 пм падает под некоторым углом скольжения на естественную грань монокристалла NaCl (М=58,5∙10^-3 кг/моль), плотность которого ρ=2,16 г/см³. Определить угол скольжения , если при зеркальном отображении от этой грани наблюдается максимум второго порядка.

42. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает под углом скольжения = 60⁰ на естественную грань монокристалла Na (М=58,5∙10^-3 кг/моль), плотность которого ρ =2,16 г/см³. Определить длину волны излучение , если при зеркальном отображении от этой грани наблюдается максимум третьего порядка.

43. Дифракционная картина получена с помощью дифракционной решетки длиной l =1,5 см и периодом d=5 мкм. Определить, в спектре наименьшего порядка этой картины, какие выйдут раздельные изображения двух спектральных линий с разностью длин волн Δ=0,1 нм, если линии лежат в крайней красной части спектра (=760 нм).

44. Какую наименьшую разрешающую способность должна иметь дифракционная решетка, чтобы с ее помощью можно было различать две спектральных линии калия ( ₁=578 нм, ₂= 580 нм)? Которое меньше всего число N штрихов должна иметь эта решетка, чтобы разрешение было возможное в спектре второго порядка?

45. С помощью дифракционной решетки с периодом d=20 мкм нужно различить дублет натрия (₁=589,0 нм и ₂=589,6 нм) в спектре второго порядка. При какой наименьшей длине решетки это возможно?

46. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет с длиной волны =0,6 мкм. Угол дифракции  для пятого максимума равняется 30⁰, а минимальная разность длин волн, которая различается решеткой составляет Δ=0,2 нм. Определить: 1) постоянную дифракционной решетки; 2) длину дифракционной решетки.

47. Сравнить наибольшую разрешающую способность для красной линии кадмия (=644 нм) двух дифракционных решеток одинаковой длины (l =5 мм), но разных периодов (d₁=4 мкм, d₂=8 мкм).

48. Показать, что максимальная разрешающая способность для дифракционных решеток, которые имеют разные периоды, но одинаковую длину имеет одно и тоже значение.

49. Определить постоянную дифракционных, если они в первом порядке различают две спектральных линии калия ( 1=578 нм и 2=580 нм). Длина ґраток =1 см.

50. Постоянная d дифракционной решетки длиной l =2,5 см равняется 5 мкм Определить разность длин волн Δ, которая различается этой решеткой, для света длиной волны =0,5 мкм в спектре второго порядка.

51. Дифракционная решетка имеет N=1000 штрихов и постоянную d=10 мкм. Определить: 1) угловую дисперсию для угла дифракции  =30⁰ в спектре третьего порядка; 2) разрешающую способность дифракционной решетки в спектре пятого порядка.

52. Определить длину волны , для которой дифракционная решетка с постоянной d=3 мкм в спектре второго порядка имеет угловую дисперсию D=7∙10⁵ рад/м.