3. Механические колебания и волны.

1. Уравнение гармонических колебаний.

(3.1)

где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, ω₀ – круговая (циклическая) частота, φ₀ – начальная фаза колебания в момент времени t=0, (ω₀t + φ₀ ) – фаза колебания в момент времени t.

Колебания какой-либо точки осуществляются вдоль оси Х, тогда уравнение гармонического колебания имеет вид

где - фаза колебания, она определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от + 1 до – 1, то х может принимать значения от + А до – А.

2 Рис. 3.1 . Период, частота колебаний.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2π,

Период измеряется в секундах.

Величина, обратная периоду колебаний, называется частотой, она показывает число колебаний за единицу времени

. Частота измеряется в герцах

3.Уравнения плоской, сферической волн.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

ξ (3.3)

где А = const – амплитуда волны, ω – циклическая частота, φ₀ – начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начала отсчета х и t, [ + φ₀] – фаза плоской волны.

Уравнение сферической волны (волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер), записывается как

ξ(r,t)= (3.3)

где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (3.3) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Рис. 3.2

4. Длина упругой волны, распространяющейся вдоль оси Х.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющихся в одинаковой фазе, называется длиной волны λ (рис. 3.2)

Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период, т.е.

(3.2)

или, учитывая, что Т = 1/ν, где ν – частота колебаний,

волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Рис. 3.3

5. Условия max и min при интерференции волн.

Для когерентных источников разность (рис. 3.3) начальных фаз (φ₁ - φ₂) = const, поэтому результат наложения двух сферических волн в различных точках зависит от величины ∆ = r₁ – r₂, называемой разностью хода волн.

В точках, где

k (r₁ – r₂) – (φ₁ – φ₂) = ± 2mπ (m = 0,1,2,….), (3.5)

наблюдается интерференционный максимум: амплитуда результирующего колебания А = А₀/r₁ + A₀/r₂. В точках где

k (r₁ – r₂) – (φ₁ – φ₂) = ± (2m + 1) π (m = 0, 1, 2,…), (3.6)

наблюдается интерференционный минимум: амплитуда результирующего колебания А = │A₀/r₁ – A₀/r₂│ m = 0, 1, 2,…, называется соответственно порядком интерференционного максимума или минимума.

(r₁ – r₂) = const.