8. Интерференция света.

Основные формулы.

1. Скорость света в среде

v = с/n (3.1)

где с - скорость света в вакууме; n - абсолютный показатель преломления среды.

2. Оптическая длина пути световой волны

L = s∙n (3.2)

где s - геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления n.

3. Оптическая разность хода двух световых волн.

Δ = L₁-L₂ (3.3)

4. Оптическая разность хода световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пластинки или пленки, которая находится в воздухе (рисунок 3.1).

=2d (3.4)

Рис. 3.1

где d - толщина пластинки (пленки), и - угол падения, r - угол преломления.

Слагаемое /2 учитывает изменение оптической длины световой волны на /2 при отбивание ее от среды (оптически более плотного + /2, менее плотного - /2).

В проходном свете (рисунок 3.2) отбивание световой волны происходит от среды менее плотного и дополнительной разности хода световых лучей не возникает.

5. Связь разности фаз колебаний с оптической разностью ходу световых волн.

=(2Δ)/ (3.5)

6. Условие максимумов интенсивности света при интерференции.

= k (k=0,1,2,3…) (3.6)

7. Условие минимумов интенсивности света при интерференции.

= (2 k+ ) /2 (k=0,1,2,3…) (3.7)

8.Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (ли темных в проходной).

r_k= (k=0,1,2,3…) (3.8)

где k - номер кольца, R - радиус кривизны линзы, которая сталкивается с плоскопаралельною стеклянной пластинкой.

9.Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете (ли светлых - в проходной).

r_k= (k=0,1,2,3…) (3.9)

Примеры решения задач.

Задача 1. В т. А экрана от источника S₁ монохроматического света длиной волны =0,5 мкм приходят два луча: непосредственно от источника лучей S₁А, перпендикулярный экрану, и луч S₁ВА, отраженный в т. В от зеркала, параллельного лучу S₁А (рис. 3.3). Расстояние l₁ экрана от источника равняется 1 м; расстояние h от луча S₁А к плоскости зеркала равняется 2 мм. Определить: 1) что будет наблюдаться в т. А экрана -усиление или ослабление интенсивности; 2) как изменится интенсивность в т. А, если на пути луча S₁А перпендикулярно нему разместить плоскопараллельную пластинку стекла (n=1,55) толщиной 6 мкм.

Дано:

=0,5мкм==5∙10^-7 м

l ₁=1 м

h=2 мм==2∙10^-3 м

n=1,55

d=6 мкм==6∙10^-6м

Рис.3.2

Рис. 3.3

Начертим мысленное изображение S₂ источника S₁ в зеркале (рис. 3.3). Источника S₁ и S₂ есть когерентными, поэтому при добавлении волн, которые приходят от этих источников на экран, возникает интерференционная картина. Усиление или ослабление интенсивности в той или другой точке экрана зависит от оптической разности хода интерферирующих лучей, то есть от числа m полуволн, которые укладываются на оптической разности хода:

m= Δ /(/2) (1)

если m - целое четное, то интенсивность будет максимальной; если m - целое нечетное, то интенсивность минимальная. При дробном m или происходит частичное усиление (если m более близкое к четному числу), или частичное ослабление (если m -более близкое к нечетному числу).

1.Оптическая разность хода будет состоять из геометрической разности 2- 1 (оба луча идут в воздухе) и дополнительной разности хода /2, обусловленной изменением фазы колебаний при отражении от среды оптически более плотной. Таким образом

₁= l ₁- l ₂+ /2

поскольку l ₂= (рис.3.3), тогда

l ₂- l ₁= l ₁

Величина H/ l₁<<1, поэтому для вычисления корня можно вычислить приближенной формулой

при а <<1

Применив ее, получим

l ₁- l ₂ l ₁[1+1/2(H/ l ₁₎²-1]=H²/2 l ²₁ откуда

₁=(H²/2 l ₁)+ /2 m₁=[(H²/2 l ₁)+ /2]/ /2

Поскольку H==2h, тогда

m₁=(4h²/l₁)+1=4∙4∙10^-6/1∙5∙10^-7=33

В точке А наблюдается минимум интенсивности.

2. Стеклянная пластина толщиной d , поставленная на пути луча S₁A (рис. 3.3), изменит оптическую длину пути. Теперь оптическая длина пути будет состоять из геометрической длины пути 1-d и оптической длины пути n∙d в самой пластине, то есть

L=(l₁-d)+nd= l ₁+(n-1) d

Оптическая разность хода лучей

Δ₂= l ₁ - L+ /2=l₂-[l ₁+(n-1)d]+ /2

или из формулы (1)

Δ₂=Δ₁-(n-1)d

m₂=Δ₂/(/2)= [Δ₁-(n-1)d]/ (/2)

m₂=33-[2∙6∙10^-6∙(1.55-1)]/5∙10^-7=19.8

Число полуволн дробное, оно более близкое к четному числу 20. Итак, будет частичное усиление.

Ответ: 1) m₁=33 в точке А минимум интенсивности. 2) m₂=19,8 в точке А усиление интенсивности света.

Задача 2. На тонкую пленку с показателем преломления n1= 1,5 падает нормально параллельный пучок света длиной волны  =6∙10^-7 м Найти минимальную толщину пленки, при которой будет наблюдаться интерференция света в отраженных лучах.

n₁=1,5

=6∙10^-7 м

d_min-?

Рис. 3.4

Физическую систему составляет тонкая пленка и пучок световых волн (рис. 3.4). При падении световой волны на пленку происходит отображение ее от обеих поверхностей пленки. В результате возникают две световых волны 1',1''. Оптическая разность хода, который приобретается лучами 1',1'':

=2АВ n₁-АДn₂ (1)

где n₁ - показатель преломления пленки, n₂ - показатель преломления среды, которая окружает пленку (n₂=1). Из рисунка 3.4 видно, что

АВ=d/cosr (2)

АД=АСsini=2dtgrsini (3)

На основе закона преломления света имеем:

sini/sinr=n₁/n₂=n₁ откуда

sini=n₁sinr (4)

Тогда выражение (1) можно записать в виде (2) - (4)

Δ₁=2d

Необходимо учесть, что в т. А отражение происходит от оптически более плотной среды, поэтому фаза волны сменяется и к разности хода прибавляется /2 ( - длина волны в вакууме), итак,

=2d + /2

Условие максимума в интерференционной картине можно записать

Δ_max=2m(/2)=2d + /2 (5)

где m - 1,2,3...-порядок интерференционного максимума. Для определения d_mіn необходимо в выражении (5) принять m=1. Поскольку параллельный пучок света падает нормально на пленку, то sіnі=0, тогда

2d_minn= /2 d_min= /4n₁=10^-7 м

Ответ: минимальная толщина пленки равняется 10^-7 м.

Задача 3. На экране наблюдается интерференционная картина в результате наложения лучей от двух когерентных источников с длиной волны ( =500 нм). На пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили стеклянную пластинку (n₁=1,6) толщиной d=5 мкм. Определить, на сколько полос сместится при этом интерференционная картина.

Дано:

=500 нм=5∙10^-7 м

n₁=1,6

d=5 мкм=5∙10^-6 м

Δm-?

Рис. 3.5

При внесении стеклянной пластинки оптическая разность хода между лучами (рис.3.5) изменится на

Δ=n₁d-n₂d

где n₂ - показатель преломления среды (n₂=1).

Внесение пластинки приведет к сдвигу интерференционной наказания-плетни на m полос, то есть дополнительная разность хода равняется m , тогда

Δ=d (n₁-1)=m₁ -m₂ =Δm

откуда

m=d (n₁-1)/ =5∙10^-6∙(1,6-1)/5∙10^-6=6

Ответ: интерференционная картина сместится на 6 полос.

Задача 4. На стеклянный клин (n₁=1,5) с преломляющим углом =40" нормально падает монохроматический свет с длиной волны =600 нм. Определить в интерференционной картине отстань между двумя соседними минимумами.

Дано:

n₁=1,5

α=40’’=1,94∙10^-4 рад

=600 нм=6∙10^-7 м

b -?

Рис. 3.6

Параллельный пучок света, падая нормально к грани клина, отражается от его верхней и нижней грани (рис.3.6). Так как угол клина маленький, то отраженные лучи 1 и 2 практически параллельные. Отраженные лучи когерентные и на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы.

Условие минимума для клина в общем случае:

2dn₁cosr + /2 =(2m+1) /2 де m=0,1,2…

d-толщина клина в месте темной полосы, которая отвечает номеру m; r - угол преломления; /2 - дополнительная разность хода, обусловленная отражения световой волны 1 от оптически более плотной среды. Угол падения и соответственно условию равняется нулю, итак, и угол преломления r=0, тогда

2dn₁₌m

откуда

d=m /2n₁ (1)

Из рисунка 3.6 вытекает, что

sinα =(d_m+1-d_m)/b (2)

Через малость угла sіnα, подставив (1) получим

α= [((m+1) )-(m )]/2n₁b= /2bn₁

b= /2n₁α =6*10^-7/2∙1.5∙1.94∙10^-4=1.03∙10^-3 м.

Ответ: отстань между двумя соседними минимумами 1,03 мм.

Задача 5. Плосковыпуклая линза (n₁=1,6) выпуклой стороной прижата к стеклянной пластинке. Расстояние между первыми двумя кольцами Ньютона, которые наблюдаются в отраженном свете, равняется 0,5 мм. Определить оптическую силу линзы, если ее освещение происходит монохроматическим светом с =550 нм, что падает нормально.

Дано:

n₁=1,6

Δr₁=0.5 мм=5∙10^-4 м

=550 нм=5,5∙10^-7 м

D-?

Рис. 3.7

Оптическая сила линзы в общем случае

D=(N-1) (1/R₁+1/R₂)

где N - относительный показатель преломления (n₁ и n₂ - соответственно показатели преломление линзы и окружающей среды); R₁ и R₂ - радиусы кривизны поверхностей линзы. Так как линза плоско-выпуклая R₂= и 1/R₂=0 тогда

D= (n₁-1)/ R₁ (1)

Для определения радиуса линзы воспользуемся выражениями для радиуса темного кольца Ньютона в отраженном свете (рис.3.7)

r_m = (m=0,1,2…)

где m - номер кольца.

Разность радиусов первых двух темных колец

Δr₁₂=r₂-r₁=

откуда

R= r²₁₂/(

Подставив (2) в (1) получаем

D =( n₁-1)()

D = (1,6-1)∙5,5∙10^-7( =0,547 дптр

Ответ: оптическая линза 0,547 дптр.

Задача 6. Сначала вертикальную мыльную пленку наблюдают в отраженном свете через красное стекло (₁=6,3∙10^-7 м). При этом расстояние между соседними красными полосами равняется 3 мм. Потом эту пленку наблюдают через синее стекло (₂=4∙10^-7 м). Найти расстояние между соседними синими полосами. Считать, что форма пленки за время наблюдения не изменяется.

Дано:

 ₁=6,3∙10^-7 м

₂=4∙10^-7 м

х₁=3 мм=3∙10^-3 м

х₂-?

а)

б)

Рис.3.8

В глаз наблюдателя попадают лучи, отраженные от тонкого клина перпендикулярно его поверхности. Тогда для k-ї и (k+1)-ї красных полос оптические различия хода соответственно равные:

Δ_k=2h_kn -/2;

Δ_kmax=k₁

Δ_k+1=2h_k+1n- /2;

Δ_k+1max=(k+1) ₁

(cosr=1 угла преломления в обоих случаях)

где h_k и h_k+1 - соответствующие данным полосам толщины вертикальной мыльной пленки, пересечение которой клин (рисунок 3.8 а, б).

Δ_k+1-Δ _k=2h_k+1n-( _1/2)-(2h_kn-( _1/2)=(k+1) ₁-k ₁

откуда

2n(h_k+1-h_k)= ₁,аналогично для синих полос.

2n (h_m+1-h_m)=₂

Разделив почленно эти выражения, получим:

Из сходства заштрихованных треугольников (рис.3.8) вытекает:

х₁=х₂ ₁/2

х₂₌3∙10^-3∙4∙10^-7/6,3∙10^-7=1,9∙10^-3 м.

Ответ: расстояние между соседними полосами 1мм