II. 12. Действие электромагнитного и магнитного полей на движущийся заряд (формула Лоренца).

Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией действует и электрическое поле с напряженностью, то результирующая сила, приложенная к заряду, равна векторной сумме сил – силы, действующей со стороны электрического поля, и силы Лоренца:

(2.12)

Это выражение называется формулой Лоренца. Скорость в этой формуле есть скорость заряда относительно магнитного поля.

Примеры решения задач.

Задача 1.Два параллельных бесконечно длинных проводника расположены на расстоянии 20 см. Найти магнитную индукцию поля, создаваемого токами, протекающими по проводникам в противоположных направлениях (сила тока одинакова и равна 10 А), в точке А, равноудалённой от проводников на расстояние 40 см.

Дано:	СИ
I1=I2=I=10 A a = 20 см b = 40 см	0,2 м 0,4 м
В - ?

Решение.

Физическая система состоит из двух проводников с током и создаваемого ими поля. Используем принцип суперпозиции для нахождения магнитной индукции

(5.7)

где - магнитная индукция поля проводника с током I₁,

– проводника с током I2. Направления показаны на рис. 5.1. Ток, текущий от нас изображён крестиком, к нам – точкой. Модули В1 и В2 определим согласно (5.4): , . Так как по условию I1 = I2 = I, то

Рис. 5.1

. (5.8)

5. По теореме косинусов

6. или с учётом (5.8):

.(5.9)

Найдём cos по теореме косинусов, записанной для треугольника DCA:

. (5.10)

Подставим (5.10) в (5.9):

или

.

Подставим числовые значения:

ВТл =2,5мкТл

Ответ: .

Задача 2.Два бесконечно длинных прямых провода скрещены под прямым углом. По проводам текут токи I₁ = 1 A, I₂ = 2 A. Расстояние между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, удалённой от провода с током I₂ на расстояние 10 см. (см. рис. 5.2)

Дано:	СИ
I1 = 1 A I2 = 2 A а = b = 10 см	0,1 м
В - ?

Решение.

Магнитное поле в данной задаче создаётся двумя проводами с токами. Используем для нахождения магнитной индукции принцип суперпозиции:

, (5.11)

где - магнитная индукция в точке А поля, создаваемого током I₁; - магнитная индукция в точке А поля, создаваемого током I₂. Покажем на рис. 5.3 векторы и (вектор направлен от нас). Так как векторы перпендикулярны, модуль результирующего вектора определим по теореме Пифагора:

(5.12)

Значения В₁ и В₂ найдём в соответствии с (5.4):

(5.13)

Рис. 5.2 Рис. 5.3

Подставим (5.13) в (5.12) и, с учётом a = b, получим:

Подставляя числовые значения, получаем:

.

Ответ:

Задача 3.Используя принцип суперпозиции, найти магнитную индукцию поля в точке О, создаваемого дугой тонкого провода с током I = 10 А. Радиус дуги 10 см, дуга опирается на центральный угол 3 радиан (рис. 5.4).

Дано:

I = 10 A R = 0,1 м  = 3

В - ?

Решение.

Физическую систему составляют дуга провода с током и магнитное поле этого тока. Разобьём дугу на элементарные участки длиной dl и рассмотрим один из них. Магнитная индукция поля, создаваемого таким элементарным участком, определяется законом (5.1):

или для модуля dB:

, (5.14)

где  - угол между направлением тока на участке dl и направлением радиус-вектора, проведённого от dl к точке О, т.е.  = 90. Направлен вектор , в соответствии с правилом правого винта, для любого участка дуги от нас.

Магнитную индукцию поля, создаваемого всей дугой, находим по принципу суперпозиции:

или (5.15)

Подставим (5.14) в (5.15) и учтём, что sin 90 = 1,

. (5.16)

Рис. 5.4

Перейдём от dl к d (см. рис. 5.4), чтобы упростить расчёт пределов интегрирования: dl = R d. Тогда (5.16) примет вид: (5.17) Подставляя в выражение (5.17) угол  в радианах, мы можем найти магнитную индукцию в центре любой дуги. Например, для окружности мы получим:

.

В нашем случае  = 3, следовательно:

. (5.18)

Легко заметить, что данная дуга представляет собой 1/6 часть окружности и магнитная индукция поля, создаваемого дугой, равна 1/6 магнитной индукции поля, создаваемого полной окружностью.

Подставим в (5.18) числовые значения и получим:

В  10 ^–5 Тл = 10 мкТл.

Ответ: .

Задача 4.Бесконечно длинный провод изогнут так, как это показано на рис 5.5. Радиус дуги окружности R = 10 см. Определить магнитную индукцию в точке О, если по проводу протекает ток I = 20 А.

Дано:	СИ
R = 10 см I = 20 А	0,1 м
В - ?

Решение.

Разобьём данный провод на три участка: I и III – прямолинейные, одним концом уходящие в бесконечность; II – дуга окружности (т.к. ей соответствует центральный угол в 120, её длина равна трети окружности). Магнитную индукцию в точке О будем определять, используя принцип суперпозиции:

,

где - магнитные индукции полей, создаваемых выделенными участками провода с током. Так как точка О лежит на оси провода I, то B_I = 0 и, следовательно,

.

Рис. 5.5.

Векторы направлены в соответствии с правилом правого винта от нас, а значит результирующий вектор ,тоже направлен от нас (см.рис. 5.5). Модуль вектора В: В = ВII + BIII . (5.19) Величину ВII найдём как треть от величины магнитной индукции в центре кругового тока (т.к. дуга равна трети окружности).

В соответствии с (5.2) получим:

. (5.20)

Величину B_III найдём согласно (5.5):

,

где r = Rsin ₁; ₁ = 30, ₂ = 180 (см. рис. 5.5). Тогда:

. (5.21)

Подставим (5.20) и (5.21) в (5.19):

.

После подстановки числовых значений получим:

Ответ: В = 1,2 мкТл.

Задача 5. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Решение

Дано: Физическая система состоит из протона и

U = 600 В магнитного поля в котором он движется.

В = 0,3 Тл Движение заряженной частицы в одно-

родном магнитном поле будет происходить по окружности

только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле

R - ? перпендикулярно линиям магнитной индукции В.

Т.к. сила Лоренца перпендикулярна вектору , то она сообщит

частице (протону) нормальное ускорение а_п.

Рис. 6.1

Согласно второму закону Ньютона,

, (6.5)

где т – масса протона.

На рис. 6.1 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы и сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора ).

Перепишем выражение (6.5) в скалярной форме (в проекции на радиус):

(6.6)

В скалярной форме . В нашем случае В и sinα = 1, тогда Так как нормальное ускорение а_п = ²/R, то выражение (6.6) перепишем следующим образом:

.

Отсюда находим радиус окружности:

.

Заметив, что m есть импульс протона (р), это выражение можно записать в виде

. (6.7)

Импульс протона найдём, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. A = ΔW_k, или

,

где - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U); и - начальная и конечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона (0) и выразив кинетическую энергию через импульс р, получим

.

Найдём из этого выражения импульс и подставим его в формулу (6.7):

,

или

. (6.8)

Подставим в формулу (6.8) числовые значения физических величин и произведём вычисления:

м = 0,0118 м = 11,8 мм.

Ответ: = 11,8 мм.

Задача 6. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 5 см. Определить магнитный момент р_т эквивалентного кругового тока.

Решение

Дано: Физическая система состоит из электрона и магнитного поля, в

В = 0,2 Тл котором он движется. Электрон начинает двигаться по окружности, R = 5 см если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На рис. 6.2 линии магнитной индук- р_т - ? ции перпендикулярны плоскости чертежа и направлен «от нас» (обозначены крестиками).

Рис. 6.2

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току, который в данном случае определяется выражением

,

где е – заряд электрона; Т – период его обращения.

Период обращения можно выразить через скорость электрона и путь, проходимый электроном за период . Тогда

. (6.9)

Зная I_экв, найдём магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

(6.10)

где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном

Подставив I_экв из (1) в выражение (2), получим

Сократим на πR и перепишем это выражение в виде:

(6.11)

В полученном выражении известной является скорость электрона, которая связана с радиусом R окружности, по которой он движется, соотношением (см. пример 1). Заменив Q на |е| , найдём интересующую нас скорость и подставим её в формулу (6.11):

.

Произведём вычисления:

А·м² = 7,03·10^-12 А·м² = 7,03 пА·м² .

Ответ: = 7,03 пА·м² .

Задача 7. Электрон движется в однородном магнитном поле (В = 10 мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость .

Решение

Дано: Физическая система состоит из электрона и магнитного поля.

В = 10 мТл Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает

R = 1 см в однородное магнитное поле под некоторым углом (α = π/2)

h = 6 см к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на

рис.6.3, скорость электрона на две

Т - ? составляющие: параллельную вектору _||)

- ? и перпендикулярную ему (). Скорость _|| в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (); в отсутствие параллельной составляющей (_|| = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям).

Рис.6.3

Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении со скоростью _|| и равномерном движении по окружности со скоростью . Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением

. (6.12)

Найдём отношение . Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение . Согласно второму закону Ньютона можно написать

, или , (6.13)

где .

Сократив (6.13) на , выразим соотношение (=) и подставим его в формулу (6.12):

. (6.14)

Произведём вычисления:

Модуль скорости , как это видно из рис.6.3, можно выразить через и _||:

.

Из формулы (6.3) выразим перпендикулярную составляющую скорости:

.

Параллельную составляющую скорости _|| найдём из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдёт вдоль силовой линии, т.е. h = T _||, откуда

_||.

Подставим вместо Т правую часть выражения (6.14), получим

_|| =

Таким образом, модуль скорости электрона

= .

Произведём вычисления:

м/с = м/с, или 24,6 Мм/с.

Ответ: = 3,57 нс; = = /с.

Задача 8. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа-частицы к её массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Дано: Решение.

U = 104 В Физическая система состоит: α-частица, электрическое и Е = 10 кВ/м магнитное поле.

В = 0,1 Тл Для того, чтобы найти отношение заряда q альфа-частицы к

её массе т, воспользуемся связью между работой

сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы

,

откуда . (6.15)

Скорость альфа-частицы найдём из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца , направленная перпендикулярно скорости и вектору магнитной индукции ;

б) кулоновская сила , сонаправленная с вектором напряженности электростатического поля (q >0). На рис. 6.4 направим вектор магнитной индукции вдоль оси Oz, скорость - в положительном направлении оси Ох, тогда и будут направлены так, как показано на рисунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил = будет равна нулю. В проекции на ось Оy получим следующее равенство (при этом учтено, что и sinα = 1):

qE – qB = 0,

откудa .

Рис. 6.4

Подставив это выражение скорости в формулу (6.15), получим

Произведём вычисления:

Кл/кг = 4,81·10⁷ Кл/кг = 48,1 МКл/кг.

Ответ: = 48,1 МКл/кг.

Задача 9.По двум параллельным прямым проводам длиной l =2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Дано: Решение.

l =2,5 м Физическая система состоит: 2 провода с током и их магнит- d = 20 см ные поля. Взаимодействие двух проводов, по которым текут

I = 1 кА токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создаёт магнитное поле, которое действует на другой провод

F - ? Предположим, что оба тока (обозначим их для удобства I₁ и I₂) текут в одном направлении. Ток I₁ создаёт в месте распо-

ложения второго провода (с током I₂) магнитное поле.

Проведём линию магнитной индукции (пунктир на рис.6.6) через второй провод и по касательной к ней – вектор магнитной индукции . Модуль магнитной индукции В₁ определяется соотношением

. (6.20)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током I₂ длиной dl действует в магнитном поле сила

.

Так как вектор перпендикулярен вектору , то = 1 и тогда

.

Подставив в это выражение В₁ согласно (6.19), получим

.

Рис. 6.6

Силу F взаимодействия проводов с током найдём интегрированием:

.

Заметив, что I₁ = I₂, получим

.

Произведём вычисления:

Н = 2,5 Н.

Сила сонаправлена с силой (рис.6.6) и определяется правилом правого винта.

Ответ: = 2,5 Н.

Контрольные задания.

1. Найти магнитную индукцию поля в точке А, если токи I₁ = 10 A, I₂ = 20 A, АВ = ВС = 10 см (см. рис.).

Рис. 5.6 (к зад. 5.1) Рис. 5.7 (к зад. 5.2) Рис. 5.8 (к зад. 5.3)

Рис. 5.9 (к зад.5.4) Рис. 5.10 (к зад.5.5) Рис. 5.11 (к зад.5.6) Рис. 5.12 (к зад. 5.7)

Рис. 5.13 (к зад. 5.8) Рис. 5.14 (к зад. 5.9) Рис. 5.15 (к зад. 5.10)

2. Найти магнитную индукцию поля в точке О, создаваемого бесконечным проводом с током I = 10 A, изогнутый так, как показано на рисунках. Радиус дуги R = 10 см.

Рис. 5.16 (к зад. 5.11) Рис. 5.17 (к зад. 5.12) Рис. 5.18 (к зад. 5.13)

Рис. 5.19 (к зад. 5.14) Рис. 5.20 (к зад. 5.15) Рис. 5.21 (к зад. 5.16)

Рис. 5.22 к зад. 5.17) Рис. 5.23 (к зад. 5.18)

Рис. 5.24 (к зад. 5.19) Рис. 5.25 (к зад. 5.20)

3. Определить, используя принцип суперпозиции, индукцию В магнитного поля, создаваемого отрезком прямого провода, в точке, равноудалённой от концов отрезка на 30 см. Сила тока, проходящего по проводу равна 10 А, длина отрезка 30 см.

4. Определить, используя принцип суперпозиции, магнитную индукцию поля в точке О, создаваемого отрезком провода, изогнутого в виде дуги, равной четверти окружности. Сила тока, проходящего по проводу равна 10 А, радиус дуги 10 см, точка О является центром кривизны дуги.

5. Определить, используя принцип суперпозиции, магнитную индукцию поля в точке О, создаваемого полукольцом, по которому течёт ток I = 10 A. Радиус полукольца равен 10 см, точка О является центром кривизны полукольца.

6. Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции определить величину магнитной индукции поля, создаваемого очень длинным прямым соленоидом, на оси соленоида. Сила тока равна I, число витков на единицу длины равно n.

7. Определить магнитную индукцию поля безграничной плоскости, по которой проходит ток с линейной плотностью , одинаковой во всех точках плоскости.

8. Радиус средней линии тороида без сердечника R. Сечение тороида круговое и его радиус r. Обмотка равномерная и содержит N витков. Определить B_max и B_min значения магнитной индукции поля в тороиде, если по обмотке тороида проходит ток I.

9. По бесконечному прямому полому цилиндру параллельно его оси проходит ток I = 30 А, который равномерно распределен по поверхности цилиндра. Найти магнитную индукцию в произвольной точке внутри цилиндра.

10. Решить задачу 5. 27 для произвольной точки, находящейся вне цилиндра

11. Непроводящий диск радиуса R, равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью  вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . Найти магнитную индукцию в центре диска.

12. Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль (см. рис.) из 100 плотно расположенных витков, по которым течёт ток I = 10 мА. Радиусы внутреннего и внешнего витков r = 50 мм, R = 100 мм. Найти магнитную индукцию в центре спирали.

13. Вычислить радиус R дуги окружности, которую описывает протон в магнитном поле с индукцией В = 15 мТл, если скорость v протона равна 2 Мм/с.

14. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл. Определить момент импульса L, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если ее траектория представляла дугу окружности радиусом R= 0,1 см.

15. Электрон движется в магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл по окружности радиусом R = 1 см. Определить кинетическую энергию Τ электрона (в джоулях и электрон-вольтах).

16. Заряженная частица влетела перпендикулярно линиям индукции в однородное магнитное поле, созданное в среде. В результате взаимодействия с веществом частица, находясь в поле, потеряла половину своей первоначальной энергии. Во сколько раз будут отличаться радиусы кривизны R траектории начала и конца пути?

17. Заряженная частица, двигаясь в магнитном поле по дуге окружности радиусом R₁ = 2 см, прошла через свинцовую пластину, расположенную на пути частицы. Вследствие потери энергии частицей радиус кривизны траектории изменился и стал равным R₂ = 1 см. Определить относительное изменение энергии частицы.

18. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить ее радиус R.

19. Заряженная частица, обладающая скоростью v = 10⁶ м/с влетела в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,52 Тл. Найти отношение Q/m заряда частицы к ее массе, если частица в поле описала дугу окружности радиусом R = 4 см. По этому отношению определить, какая это частица.

20. Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов U = 2 кВ, движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 15,1 мТл по окружности радиусом R = 1 см. Определить отношение заряда частицы к ее массе и скорость v частицы.

21. Заряженная частица с энергией Τ =1 кэВ движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом R = 1 мм. Найти силу F, действующую на частицу со стороны поля.

22. Определить частоту n вращения электрона по круговой орбите в магнитном поле, индукция В которого равна 0,2 Тл.

23. По горизонтально расположенному проводнику длиной 20 см и массой 4 г течет ток 10 А. Найти индукцию (модуль и направление) магнитного поля, в которое нужно поместить проводник, чтобы сила тяжести уравновесилась силой Ампера.

24. Проводник, длина которого l и масса т, подвешен на тонких проволочках. При прохождении по нему тока I он отклонился в однородном магнитном поле (рис. 2.24) так, что нити образовали угол α с вертикалью. Какова индукция магнитного поля?

25. Рис. 2.24

    В направлении, перпендикулярном линиям индукции, влетает в магнитное поле электрон со скоростью 10 Мм/с. Найти индукцию поля, если электрон описал в поле окружность радиусом 1 см.

26. В однородное магнитное поле с индукцией В = 10 мТл перпендикулярно линиям индукции влетает электрон с кинетической энергией W_k=30 кэВ. Каков радиус кривизны траектории движения электрона в поле?

27. Протон и α-частица влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Сравнить радиусы окружностей, которые описывают частицы, если у них одинаковы: а) скорости; б) энергии.

28. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В=8 мТл. Найти период Τ обращения электрона.

29. Однородные электрическое и магнитное поля расположены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического поля 3 кВ/м, а индукция магнитного поля 2 мТл. Каким должны быть направления и значение скорости электрона, чтоб его движение было прямолинейным?

30. Стержень лежит на горизонтальных рельсах, которые находятся на расстоянии 0,4 м друг от друга (см. рисунок). Найдите индукцию магнитного поля, если стержень приходит в движение при силе тока в нем 40 А. Масса стержня 0,4 кг, коэффициент трения стержня о рельсы 0,2.

31. Электрон, который влетел в однородное магнитное поле под углом 30° к линиям магнитной индукции, движется по винтовой линии диаметром 5 см с периодом 50 мкс. Определите скорость электрона.

32. Электрон описывает в магнитном поле винтовую линию с радиусом 10 мм. Найдите шаг винтовой линии, если вектор скорости составляет угол 60° с вектором магнитной индукции.

33. На параллельные горизонтальные рельсы подано напряжение и по проводнику АВ (см. рисунок) течет ток 2 А. Под действием магнитного поля проводник движется с ускорением 4 м/с². Найдите индукцию магнитного поля, если площадь поперечного сечения проводника равна 1мм², а плотность материала проводника 2500 кг/м³. Трение не учитывайте.

34. Прямой проводник весом 0,2 Н подвешен горизонтально на двух тонких проводах. Центральная часть проводника длиной 0,4 м находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл (вектор магнитной индукции направлен вертикально). На какой угол от вертикали отклонятся провода, которые поддерживают проводник, если по нему пропустить ток 1 А?

35. Горизонтальный проводник массой 20 г и длиной 20 см висит на гибких проводящих невесомых подвесах. На него действует однородное магнитное поле. Вектор магнитной индукции направлен вертикально, сила тока в проводнике 15 А. Подвесы отклонились на 30° от вертикали (сами подвесы находятся вне магнитного поля). Найдите модуль вектора магнитной индукции.

36. Протон разгоняется из состояния покоя в электрическом поле с разностью потенциалов 2 кВ и вылетает в однородное магнитное поле перпендикулярно к линиям магнитной индукции. В магнитном поле он движется по дуге окружности радиусом 40 см. Определите модуль вектора магнитной индукции.

37. Однозарядные ионы двух изотопов аргона разгоняются в электрическом поле и потом в однородном магнитном поле разделяются на два пучка, которые движутся в вакууме по дугам окружности с радиусами 7,63 см и 8,05 см. Найдите отношение масс ионов двух изотопов.

38. Протон влетает со скоростью 50 км/с в пространство с электрическим и магнитным полями, направление которых совпадает, перпендикулярно этим полям. Найдите напряженность электрического поля, если индукция магнитного поля равна 0,3 Тл, а начальное ускорение протона, вызванное действием этих полей, составляет 10 ¹² м/с².

39. Векторы напряженности однородного электрического поля и магнитной индукции однородного магнитного поля перпендикулярны друг другу. Напряженность электрического поля равна 0,3 кВ/м, индукция магнитного поля 2мТл. С какой скоростью и в каком направлении должен лететь электрон, чтобы двигаться в этих полях прямолинейно?

40. Два иона разных масс с одинаковыми зарядами влетели в однородное магнитное поле, стали двигаться по окружностям радиусами R₁ = 3 см и R₂ = 1,73 см. Определить отношение масс ионов, если они прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов.

41. Однозарядный ион натрия прошёл ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ и влетел перпендикулярно линиям магнитной индукции в однородное поле (В = 0,5 Тл). Определить относительную атомную массу А иона, если он описал окружность радиусом R = 4,37 см.

42. Электрон прошёл ускоряющую разность потенциалов U = 800 В и, влетев в однородное магнитное поле В = 47 мТл, стал двигаться по винтовой линии с шагом h = 6 см. Определить радиус R винтовой линии.

43. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и, попав в однородное магнитное поле, стала двигаться по винтовой линии радиусом R = 1 см и шагом h = 4 см. Определить магнитную индукцию В поля.

44. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 100 В и, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,1 мТл), стал двигаться по винтовой линии с шагом h = 6,5 см и радиусом R = 1 см. Определить отношение заряда частицы к её массе.

45. Электрон влетел в однородное магнитное поле (В = 200 мТл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить силу эквивалентного кругового тока I_экв, создаваемого движением электрона в магнитном поле.

46. Протон прошёл ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и влетел в однородное магнитное поле (В = 20 мТл) под углом α = 30º к линиям магнитной индукции. Определить шаг h и радиус R винтовой линии, по которой будет двигаться протон в магнитном поле.

47. Альфа-частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, стала двигаться в однородном магнитном поле (В = 50 мТл) по винтовой линии с шагом h = 5 см и радиусом R = 1 см. Определить ускоряющую разность потенциалов, которую прошла альфа-частица.

48. Ион с кинетической энергией Т = 1 кэВ попал в однородное магнитное поле (В = 21 мТл) и стал двигаться по окружности. Определить магнитный момент р_т эквивалентного кругового тока.

49. Ион, попав в магнитное поле (В = 0,01 Тл), стал двигаться по окружности. Определить кинетическую энергию Т (в эВ) иона, если магнитный момент р_т эквивалентного кругового тока равен 1,6 ·10^-14 А·м².

50. Протон влетел в скрещенные под углом α = 120º магнитное поле (В = 50 мТл) и электрическое (Е = 20 кВ/м) поля. Определить ускорение протона, если его скорость (|| = 4·10⁵ м/с) перпендикулярна векторам и .

51. Ион, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 645 В, влетел в скрещенные под прямым углом однородные магнитное (В = 1,5 мТл) и электрическое (Е = 200 кВ/м) поля. Определить отношение заряда иона к его массе, если ион в этих полях движется прямолинейно.

52. Альфа-частица влетела в скрещенные под прямым углом магнитное (В = 5 мТл) и электрическое (Е = 30 кВ/м) поля. Определить ускорение альфа-частицы, если её скорость (|| = 2·10⁶ м/с) перпендикулярна векторам и , причём силы, действующие сос стороны этих полей, противонаправлены.

53. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 1,2 В, попал в скрещенные под прямым углом однородные магнитное и электрическое поля. Определить напряжённость электрического поля, если магнитная индукция поля равна 6 мТл.

54. Однородные магнитное (В = 2,5 мТл) и электрическое (Е = 10 кВ/м) поля скрещены под прямым углом. Электрон, скорость υ которого равна 4·10⁶ м/с, влетает в эти поля так, что силы, действующие на него со стороны магнитного и электрического полей, сонаправлены. Определить ускорение электрона.

55. Однозарядный ион лития массой т = 7 а.е.м. прошёл ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и влетел в скрещенные под прямым углом однородные магнитное и электрическое поля. Определить магнитную индукцию поля, если траектория иона в скрещенных полях прямолинейна. Напряжённость электрического поля равна 2 кВ/м.

56. Альфа-частица, имеющая скорость υ = 2 Мм/с, влетает под углом α = 30º к сонаправленому магнитному (В = 1 мТл) и электрическому (Е = 10 кВ/м) полям. Определить ускорение альфа-частицы.

57. Протон прошёл некоторую ускоряющую разность потенциалов U и влетел в скрещенные под прямым углом однородные поля: магнитное (В = 5 мТл) и электрическое (Е = 20 кВ/м). Определить разность потенциалов U, если протон в скрещенных полях движется прямолинейно.

58. Магнитное (В = 2 мТл) и электрическое (Е = 1,6 кВ/м) поля сонаправлены. Перпендикулярно векторам и влетает электрон со скоростью υ = 0,8 Мм/с. Определить ускорение электрона.

59. В скрещенные под прямым углом однородные магнитное (Н = 1 МА/м ) и электрическое (Е = 50 кВ/м) поля влетел ион. При какой скорости иона (по модулю и направлению) он будет двигаться в скрещенных полях прямолинейно.

60. По тонкому кольцу R = 10 см равномерно распределён заряд с линейной плотностью τ = 50 нКл/м. Кольцо вращается относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр, с частотой п = 10 с^-1. Определить магнитный момент р_т, обусловленный вращением кольца.

61. Диск радиусом R = 8 см несёт равномерно распределённый по поверхности заряд (σ = 100 нКл/м²). Определить магнитный момент р_т, обусловленный вращением диска, относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной оси диска. Угловая скорость вращения оси диска ω = 60 рад/с.

62. Стержень длиной l = 20 см заряжен равномерно распределённым зарядом с линейной плотностью τ = 0,2 мкКл/м. Стержень вращается с частотой п = 10 с^-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Определить магнитный момент р_т, обусловленный вращением стержня.

63. Протон движется по окружности радиусом R = 0,5 см с линейной скоростью υ = 10⁶ м/с. Определить магнитный момент р_т, создаваемый эквивалентным круговым током.

64. Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несёт равномерно распределённый заряд Q = 80 нКл. Кольцо вращается с угловой скоростью ω = 50 рад/с относительно оси, совпадающей с одним из диаметров кольца. Найти магнитный момент р_т, создаваемый эквивалентным круговым током.

65. Заряд Q = 80 нКл равномерно распределён по стержню длиной l = 50 см. Стержень вращается с угловой скоростью ω = 20 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Найти магнитный момент р_т, обусловленный вращением стержня.

66. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра (протона) по окружности радиусом R = 5 пм. Определить магнитный момент р_т эквивалентного кругового тока.

67. Сплошной цилиндр радиусом R = 4 см и высотой h = 15 см несёт равномерно распределённый по объёму заряд (ρ = 0,1 мкКл/м³). Цилиндр вращается с частотой п = 10 с^-1 относительно оси, совпадающей с его геометрической осью. Найти магнитный момент р_т цилиндра, обусловленный его вращением.

68. По поверхности диска радиусом R = 15 см равномерно распределён заряд Q = 0,2 мкКл. Диск вращается с угловой скоростью ω = 30 рад/с относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить магнитный момент р_т, обусловленный вращением диска.

69. По тонкому стержню длиной l = 40 см равномерно распределен заряд Q = 60 нКл. Стержень вращается с частотой п = 12 с^-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через стержень на расстоянии а = l/3 от одного из его концов. Определить магнитный момент р_т, обусловленный вращением стержня.

70. С поверхности цилиндрического провода радиуса а, по которому течёт постоянный ток I, вылетает электрон с начальной скоростью υ₀, перпендикулярной к поверхности провода. На какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока.

71. Из начала координат О области, где созданы однородные параллельные оси у электрическое и магнитное поля с напряжённостью Е и индукцией В (ри.6.7), вылетает в направлении оси х нерелятивистская частица с удельным зарядом q/m и начальной скоростью υ₀. Найти координату у_п частицы в момент, когда она п-й раз пересечёт ось у.

у у

В

0 υ₀ 0

х В ) φ x

z z υ

Рис. 6.7 Рис.

72. Узкий пучок одинаковых ионов с удельным зарядом q/m, имеющих различные скорости, входит в точке О (см. рис.6.7) в область, где созданы однородные параллельные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В. Направление пучка в точке О совпадает с осью х. На расстоянии l от точки О находится плоский экран, ориентированный перпендикулярно к оси х. Найти уравнение следа ионов на экране. Показать, что при z<<l это уравнение параболы.

73. Пучок нерелятивистских протонов проходит, не отклоняясь, через область, в которой созданы однородные поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с Е = 120 кВ/м и В = 50 м Тл. Затем пучок попадает на заземлённую мишень. Найти силу, с которой пучок действует на мишень, если ток в пучке I = 0,80 мА.

74. Нерелятивистские протоны движутся прямолинейно в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с Е = 4,0 кВ/м и В = 50мТл. Траектория протонов лежит в плоскости хz (рис.6.8) и составляет угол φ = 30º с осью х. Найти шаг винтовой линии, по которой будут двигаться протоны после выключения электрического поля.

75. Пучок нерелятивистских заряженных частиц проходит, не отклоняясь, через область А (рис.6.9), в которой созданы поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В. Если магнитное поле выключить, след пучка на экране Э смещается на Δх. Зная расстояния а и b, найти удельный заряд q/m частиц.

Рис. 6.9

76. Частица с удельным зарядом q/m движется в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряжённостью и индукцией (рис.6.10). В момент t = 0 частица находилась в точке О и имела нулевую скорость. Найти для нерелятивистского случая закон движения частицы x(t) и y(t); какой вид имеет траектория.

у

1. Е

В х

z

Рис. 6.10

77. Система состоит из длинного цилиндрического анода радиуса а и коаксиального с ним цилиндрического катода радиуса b (b<a). На оси системы имеется нить с током канала I, создающим в окружающем пространстве магнитное поле. Найти наименьшую разность потенциалов между катодом и анодом, при которой термоэлектроны, покидающие катод без начальной скорости, начнут достигать анода.

78. Магнетрон – это прибор, состоящий из нити накала радиуса а и коаксиального цилиндрического анода радиуса b, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциалов U. Найти значение индукции магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, будут достигать анода.

79. Заряженная частица с удельным зарядом q/m начинает двигаться в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Магнитное поле постоянно и имеет индукцию В, электрическое же меняется во времени как Е = Е_т cos ωt, где ω = . Найти для нерелятивистского случая закон движения частицы x(t) и y(t), если в момент t = 0 она находилась в точке О (см. рис.6.10). Какой примерно вид имеет траектория частицы?

5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

Основные формулы.