- •В.В. Бібик, т.М. Гричановська, л.В.Однодворець, н.І.Шумакова фізика твердого тіла
- •Isbn © Бібик в.В., Гричановська т.М.,
- •Однодворець л.В., Шумакова н.І., 2010
- •Передмова редактора
- •Розділ 1 будова твердих тіл
- •Операції і елементи симетрії
- •1.2. Елементарні комірки і решітки Браве
- •1.3. Обчислення періоду решітки
- •1.4. Кристалографічні символи
- •1.5 Типи зв’язків у твердих тілах
- •1.6 Анізотропія кристалів
- •1.7 Дефекти кристалів
- •Питання і завдання до розділу 1
- •Розділ 2 динаміка кристалічної решітки
- •2.1 Елементи теорії пружності
- •2.2 Уявлення про нормальні коливання решітки
- •2.3 Елементи квантової теорії пружних хвиль у кристалі
- •2.4 Спектр нормальних коливань решітки
- •Теплоємність кристалів при низьких і високих температурах
- •Питання і завдання до розділу 2
- •Розділ 3. Зонна теорія твердих тіл
- •3.1. Рівняння Шредінгера для кристала
- •3.2. Функція Блоха, теорема Блоха
- •3.3 Енергетичні зони кристала
- •3.4 Енергетичний спектр електронів у кристалі. Модель Кроніга-Пенні
- •3.5 Ефективна маса електрона в кристалі. Ізоенергетичні поверхні
- •Питання і завдання до розділу 3
- •Розділ 4 електронна теорія металів
- •4.1 Класична електронна теорія металів
- •4.2 Квантова статистика електронів у металі
- •4.3 Вироджений електронний фермі-газ у металах і його теплоємність
- •4.4 Кінетичне рівняння Больцмана для електрона в кристалі. Електропровідність металів
- •Питання і завдання до розділу 4
- •Розділ 5 електронна теорія напівпровідників
- •5.1. Загальна характеристика напівпровідників
- •5.2 Статистика електронів у напівпровідниках із власною провідністю
- •Елементи статистики електронів у домішкових напівпровідниках
- •5.4. Провідність напівпровідників
- •5.5 Ефект Холла у напівпровідниках
- •Питання і завдання до розділу 5
- •Електронна теорія магнетиків
- •6.1 Класифікація магнетиків
- •6.2. Діамагнетизм та парамагнетизм
- •6.3. Феромагнетизм, антиферомагнетизм, феримагнетизм
- •6.4 Феноменологічний опис феро- та антиферо-магнетизму
- •6.5. Взаємодії в упорядкованих магнетиках. Спінові хвилі
- •6.6. Елементи теорії Ландау. Процеси перемагнічування
- •Питання і завдання до розділу 6
- •Розділ 7 фазові переходи
- •7.1. Умови рівноваги фаз
- •7.2. Класифікація фазових переходів
- •7.3. Елементи теорії Ландау для фазових переходів другого роду
- •Питання і завдання до розділу 7
- •Задача 2
- •Розв’язання
- •Задача 9
- •Розв’язання
- •Задача 12
- •Розв’язання
- •Задача 13
- •Розв’язання
- •Додаток б (обов’язковий) Задачі для самостійного розв’язування
- •Додаток в (обов’язковий) Варіанти індивідуальних завдань
- •Список літератури
- •Фізика твердого тіла
1.2. Елементарні комірки і решітки Браве
Кристали – це тверді тіла, в яких атоми або молекули мають чітку тривимірну періодичність. Структуру кристала можна зобразити як нескінченні симетричні ряди, сітки і решітки з періодично повторюваних частинок. Для характеристики внутрішньої структури кристалів користуються поняттям кристалічної решітки.
Кристалічна решітка - періодична тривимірна структура, в якій атоми чи молекули займають фіксовані положення і перебувають на певних відстанях.
а б в
Рисунок - 1.3. Просторові операції симетрії: а - трансляція (Т); б - відбивання з трансляцією на Т/2; в - поворот з трансляцією на 2T/3
Найбільш загальними макроскопічними властивостями кристалічної решітки є її однорідність, анізотропія і симетрія.
Багатогранник, трансляціями якого можна без пропусків і перекривань повністю заповнити всю безкінечну решітку, називається елементарною коміркою. Вибір такої комірки неоднозначний. Наприклад, це може бути паралелепіпед, ребрами якого є основні трансляції. Довжини ребер називають постійними решітки. Елементарна комірка мінімально можливого об’єму називається примітивною елементарною коміркою. Вона може мати чи не мати всі елементи симетрії решітки. Зокрема, всі елементи симетрії решітки має примітивна елементарна комірка Вігнера-Зейтца. Вона будується так: будь-який вузол решітки (взятий за початковий) з’єднують відрізками з іншими вузлами, а потім через середини цих відрізків проводять площини, перпендикулярні до них. Багатогранники, обмежені цими площинами, утворюють комірку Вігнера-Зейтца (рис. 1.4).
Рисунок 1.4 - Побудова елементарної комірки Вігнера-Зейтца (для двовимірної решітки)
Геометрична будова елементарних комірок характеризує кристалографічну структуру речовини. Тому за формою зручно класифікувати не кристали, а елементарні комірки. При цьому всі кристали поділяються на кристалографічні системи (сингонії) різних типів. Як і будь-який багатогранник, елементарна комірка (рис. 1.5) характеризується шістьма параметрами: довжинами ребер (, , ) і кутами між ними (α, β, γ). Залежно від співвідношення між цими відрізками (сталими решітки) і кутами розрізняють сім кристалографічних систем (сингоній).
На основі кристалічних решіток, що відповідають різним кристалографічним системам, Н. Франкенгейм (1835р.), а потім О. Браве (1850р.) виділили 14 видів трансляційних решіток, які тепер називаються решітками Браве.
Решіткою Браве називається система точок з радіусами-векторами
, (1.1)
де , і - основні вектори трансляцій; m1, m2 та m3 – цілі числа.
Як видно із таблиці 1.1, кристалографічні сингонії
Таблиця 1.1 - Типи кристалографічних сингоній та
решіток Браве
Сингонії |
Характер- ні елементи симетрії |
Тип решітки |
|||
Примі- тивна |
Базоцен- трована |
Об’ємно- центрована |
Гране- центрована |
||
Три- клинна a≠b≠с α≠β≠γ≠90° |
Немає осей і площин |
|
|
|
|
Моно- клинна a≠b≠с α=γ=90°, β≠90° |
Одна вісь 2 або і площина |
|
|
|
|
Ромбічна a≠b≠с α=β=γ=90° |
Більше однієї осі 2 або і площина |
|
|
|
|
Триго- нальна a=b=с α=β=γ≠90° |
Вісь3 або |
|
|
|
|
Тетраго- нальна a=b≠с α=β=γ=90° |
Вісь 4 або |
|
|
|
|
Гексаго- нальна a=b≠с α=β=90°, γ=120° |
Вісь 6 або |
|
|
|
|
Кубічна a=b=с α=β=γ=90° |
Чотири осі 3 |
|
|
|
|
об’єднують у собі чотирнадцять типів решіток Браве. Властивістю решітки Браве є те, що із будь-якої її точки весь (безкінечний) кристал «спостерігається однаково».
Примітивна комірка може містити декілька (іноді дуже багато) атомів - різних або однакових, що знаходяться в нееквівалентних положеннях. Такі групи атомів називають базисом; говорять про одноатомний, двоатомний і т.д. базис.
|
Рисунок 1.5 - Елементарна комірка кристала
|
У фізиці твердого тіла опис кристалів можна значно спростити, якщо ввести поняття оберненого простору і відповідно оберненої решітки. Визначити її можна таким чином: якщо система точок (1.1) — пряма решітка, то обернена решітка - це система точок
, (1.2)
де n1, n2 та n3 – цілі числа; , , - основні вектори оберненої решітки.
Слід також відмітити, що кожному вектору оберненої решітки відповідає сімейство атомних площин (в яких лежать точки прямої решітки), перпендикулярних до вектора , відстані між якими , де Bmin –довжина найменшого вектора оберненої решітки, паралельного .
Базисні вектори оберненої решітки визначаються через вектори прямої решітки:
, , ,
де - об’єм елементарної комірки прямої решітки.
У випадку кубічної та інших прямокутних решіток
, , ,
тобто вектори оберненої решітки визначаються через хвильові числа. Із цієї причини простір оберненої решітки може розглядатись як простір хвильових векторів (k-простір) або простір імпульсів (p-простір), оскільки імпульс . Елементарна комірка Вігнера-Зейтца в такому просторі являє собою першу зону Бриллюена. На рис. 1.6 наведено приклади побудови зон для двовимірної простої квадратної решітки (три зони) і для прямої ГЦК-решітки (перша зона).
а б
Рисунок 1.6 - Приклади зон Бриллюена для дво- (а) та тривимірної (б) решіток
Наступні зони Бриллюена будуються так: будь-який вузол оберненої решітки (взятий за початковий) з’єднують відрізками з іншими вузлами, а потім через середини цих відрізків проводять перпендикулярні площини. Багатогранники, обмежені цими площинами, утворюють зони Бриллюена. Об’єми всіх зон однакові.