Питання і завдання до розділу 4

1. Які властивості металів не могла пояснити класична електронна теорія Друде?

2. Сформулюйте основні принципи і основну задачу квантової статистики.

3. Які частинки називають ферміонами?

4. Запишіть розподіл Фермі-Дірака і поясніть величини, що входять до нього.

5. Виведіть закон розподілу електронів провідності в металі за енергіями.

6. Побудуйте графік функції розподілу Фермі-Дірака при температурі 0К.

7. Виведіть співвідношення для загального числа електронів провідності в одиниці об’єму металу при температурі 0К.

8. Виведіть співвідношення для обчислення енергії Фермі.

9. Яка система частинок називається виродженою?

10. Запишіть співвідношення для знаходження температури виродження.

11. Сформулюйте температурний критерій виродження системи частинок.

12. Поясніть, чому електронний газ у металі називають виродженим.

13. Як обчислюється молярна теплоємність електронного газу?

14. При якій концентрації вільних електронів у кристалі температура виродження електронного газу в ньому дорівнює 0°С?

15. Обчислити енергію Фермі при Т=0К для алюмінію. Вважати, що на кожен атом алюмінію припадає три вільних електрони.

16. Знайти різницю енергій (в одиницях kT) між електроном, що знаходиться на рівні Фермі, і електронами, які знаходяться на рівнях, імовірності заповнення яких дорівнюють 0,20 і 0,80.

17. Яка імовірність заповнення електронами в металі енергетичного рівня, росташованого на 0,01 еВ нижче рівня Фермі, при температурі +18°С?

18. Як і у скільки разів зміниться імовірність заповнення електронами енергетичного рівня в металі, якщо рівень розташований на 0,01еВ нижче рівня Фермі і температура змінюється від 200 до 300 К?

19. Як і у скільки разів зміниться імовірність заповнення електронами енергетичного рівня в металі, якщо він розташований на 0,1 еВ вище рівня Фермі і температура змінюється от 1000 до 300 К?

20. Обчислити сумарну кінетичну енергію електронів провідності в 1 см³ цезію при 0 К.

21. Виходячи з функції розподілу електронів провідності за енергіями, отримати функцію розподілу їх у металі за швидкостями при температурах Т~0К. Зобразити приблизний вигляд графіка цієї функції.

22. Показати, що в металі при Т=0К: а) средня арифметична швидкість електронів провідності v=0,75v_max; б) середня квадратична швидкість їх v_кв=0,7775v_max.

23. Визначити максимальну і середню квадратичну швидкості вільних електронів кальцію при Т=0К. Вважати, що на кожен атом кальцію припадають два вільних електрони.

24. Визначити, яка частина електронів провідності в металі при Т=0К має кинетичну енергію, більшу 0,5Е_F.

25. Половина всіх вільних електронів у металі має кінетичні енергії, більші, ніж деяка енергія Е. Обчислити величину цієї енергії Е в частках енергії Фермі Е_F.

26. Показати на прикладі металу з простою кубічною решіткою (з одним вільним електроном на атом), що мінімальне значення дебройлівської довжини хвилі вільних електронів при Т=0К дорівнює приблизно подвійній відстані між сусідніми атомами решітки.

27. Обчислити відносний вклад електронного газу в загальну теплоємність срібла при кімнатній температурі. Вважати, що на кожен атом припадає один вільний електрон і що теплоємність срібла при даній температурі визначається законом Дюлонга і Пті.

28. Визначити температуру, при якій теплоємність електронного газу буде дорівнювати теплоємності кристалічної решітки літію. Характеристична температура літію Θ_Д=404К, концентрація вільних електронів у ньому п =4,66 I0²⁸ м^-3.

29. Електрони в металі знаходяться при температурі Т=0. Знайти відносне число вільних електронів, кінетична енергія яких відрізняється від енергії Фермі більше ніж на 5%.

30. Оцінити температуру Т_кр виродження для срібла, якщо припустити, що на кожен атом припадає по одному вільному електрону. Густина срібла 10,5г/см³.