2.2 Уявлення про нормальні коливання решітки

У даному підрозділі розглянемо структуру і закон дисперсії пружних хвиль, але не на моделі континуума, а на прикладі кристалічної решітки. Можна передбачити, що дискретність решітки приведе до суттєвих змін закону дисперсії.

Атоми кристалічної решітки завжди перебувають у коливальному русі навколо положення рівноваги. Оскільки відстань між атомами дуже мала, то коливання, які виникли в точці решітки, будуть поширюватися по всьому кристалу у вигляді звукової хвилі. Ці коливання мають пружний характер і за відсутності затухання і збуджуючих сил їх називають нормальними. В одному молі кристала виникає 3N_А нормальних коливань. Оскільки кожне нормальне коливання можна розглядати як осцилятор, то в одному молі кристала коливається 3N_А осциляторів. Мінімальна і максимальна циклічні частоти коливань визначаються співвідношеннями:

, (2.1)

де – фазова швидкість звукової хвилі.

Із рисунка 2.3 легко зрозуміти на прикладі одновимірного кристала, що (L – довжина кристала) і (а – параметр решітки).

Частотний спектр можливих нормальних коливань описується законом дисперсії, тобто залежністю циклічної частоти від хвильового числа k, яке визначається як .

а б

Рисунок 2.3 - Лінійний ланцюжок із однакових атомів: визначення максимальної (а) та мінімальної (б) довжин хвилі нормальних коливань

Якщо записати довжину хвилі через частоту, то отримаємо лінійний закон дисперсії:

, (2.2)

який має місце лише у першому наближенні.

Розглянемо випадок, коли відхилення атомів від положення рівноваги невеликі, тобто коли сили взаємодії між атомами підлягають закону Гука. Для одновимірного ланцюжка однакових атомів масою m класичне рівняння руху n-го атома матиме вигляд

, (2.3)

де - зміщення n-го атома стосовно рівноважного положення na, - квазіпружна сила, що діє на n-й атом; - пружна стала (стала Гука).

Розв'язання цього диференціального рівняння шукають у вигляді

, (2.4)

де та - відповідно амплітуда і циклічна частота коливання атомів.

Підставивши (2.4) у (2.3), отримаємо дисперсійне співвідношення для хвиль, що поширюються в лінійному ланцюжку з однакових атомів:

. (2.5)

Оскільки не може бути від’ємною величиною, то мінус у (2.5) відповідає області від’ємних значень k.

Для дискретного ланцюжка є періодичною функцією k з періодом - основним вектором даної одновимірної оберненої решітки. Таким чином, k достатньо задати на відрізку довжиною , наприклад, в інтервалі від до , який являє собою одновимірну першу зону Бриллюена.

Закон дисперсії суттєво відрізняється від лінійного закону, отриманого на основі континуальної моделі. Відмінність полягає у відсутності пропорційності між частотою і хвильовим числом, що пов’язано з дисперсією хвиль. Короткі хвилі (більш високої частоти) внаслідок інерції мас частинок поширюються повільніше, ніж довгі хвилі. Наявність дисперсії хвиль проявляється у відхиленні кривої від лінійної залежності (рис.2.4).

У загальному випадку дисперсії хвиль слід розрізняти фазову та групову швидкості.

Групова швидкість - це швидкість, з якою поширюється хвильовий пакет, а отже, й енергія хвилі:

.

Фазова швидкість - це швидкість, з якою поширюється фаза монохроматичної хвилі:

,

де - швидкість звуку; а – параметр решітки.

Оскільки , то при малих (при поширенні довгих хвиль) , але при збільшенні спостерігається відхилення від лінійного закону із виходом на насичення при . Максимальну частоту можна знайти, використовуючи граничне значення :

,

.

На рис. 2.4 наведена крива дисперсії для акустичних коливань. Але в кристалах, що складаються із двох або більше різних типів атомів, поряд із акустичними коливаннями можуть виникати й оптичні. Частоти оптичних гілок закону дисперсії значно вищі порівняно із акустичними. Початкова ділянка акустичної гілку відповідає звуковим хвилям, а частоти оптичної гілки при всіх k знаходяться в оптичному (інфрачервоному) діапазоні. Оптичні коливання виникають у тому випадку, коли атоми різних сортів коливаються у протилежних напрямках. Максимум на дисперсійній залежності 2 (рис. 2.4) можна пояснити на основі таких міркувань. Оскільки оптична гілка спостерігається у випадку двохатомних систем, то при коливанні атомів у взаємно протилежних напрямах результуючий хвильовий вектор близький або дорівнює нулю, але при цьому відносна швидкість атомів максимальна, що і спостерігається на залежності.

Рисунок 2.4 - Дисперсійна залежність для акустичних (1, 1′) та оптичних (2) коливань

Побудову класичної теорії пружних хвиль у тривимірному кристалі у 1912 р. здійснили Борн і Карман. Основні результати їх теорії (див., наприклад, [12]) такі. Загальна кількість гілок у спектрі нормальних коливань тривимірного кристала 3p( де p – число атомів у базисі), із них 3 акустичні і 3(p-1) оптичні. Значення хвильвого вектора є періодичними і достатньо їх задати в першій зоні Бриллюена. Величини частот усіх гілок обмежені, закони дисперсії залежать від напрямку хвильвого вектора. В даній теорії були знадені власні, або нормальні, хвилі (за відсутності затухання і збуджуючих сил).