2.3 Елементи квантової теорії пружних хвиль у кристалі
Детальне вивчення коливань мікроскопічних об’єктів (атомів, іонів) у кристалічній решітці потребує застосування уявлень і методів квантової теорії. Але результати класичної теорії Борна-Кармана переважно виявились справедливими. Застосування квантових уявлень привело лише до двох нових результатів: можливості трактування пружних хвиль як квазічастинок і урахування нульових коливань.
Відповідно до принципу корпускулярно-хвильового дуалізму - одного із фундаментальних принципів квантової теорії і взагалі сучасної фізики – будь-які коливання чи хвилі одночасно є частинками, а будь-які частинки – хвилями. Частинки (точніше квазічастинки), що відповідають пружним коливанням кристалічної решітки, назвали фононами. Їх імпульс (точніше квазіімпульс)
,
де
- квазіхвильовий
вектор,
а енергія
.
Приставка
«квазі»
пов’язана з тим, що і хвильовий вектор,
і імпульс задані лише в першій зоні
Бриллюена, і сам
не є імпульсом ні з позицій ньютонівської,
ні з позицій квантової механіки.
Фонони
є
носіями енергії звукових хвиль (фононом
також називається квант теплової енергії
).
У таблиці 2.2 наведено основні відмінності
між частинками і квазічастинками.
Магнітний
момент і спін фонона дорівнюють нулю.
Частинки (чи квазічастинки) з нульовим
спіном підпорядковуються статистиці
Бозе-Ейнштейна і є бозонами
[13].
Відповідно
до цієї
статистики середнє
число частинок (чи
квазічастинок), що знаходяться у рівновазі
при температурі Т
в стані
,
становить
,
Таблиця 2.2 - Характеритики частинок і квазічастинок
|
Ознака |
Виконання ознаки для |
|
|
частинки |
квазічастинки |
|
|
Виконується закон збереження енергії
|
Так |
Так |
|
Виконується закон збереження імпульсу
|
Так |
Не завжди |
|
Існують у кристалі
|
Так |
Так |
|
Існують у вакуумі
|
Так |
Ні |
|
Утворюють атоми, молекули і речовину
|
Так |
Ні |
де
- номер гілки (однієї із 3p
гілок) пружних хвиль;
- хімічний потенціал, який можна знайти
із умови, що повне число частинок
дорівнює заданій величині. Якщо це
число, як у випадку фононів, не є
фіксованим, то
[14],
і тоді середнє
число
фононів у даному стані в рівновазі
. (2.6)
На рис. 2.5 наведена залежність повного числа фононів від частоти, розрахована за останніми формулами для однієї акустичної гілки. Максимум виникає тому, що число станів збільшується з частотою, а середнє число (див. (2.6)) частинок в кожному стані зменшується.
|
|
Рисунок 2.5 - Розподіл фононів однієї акустичної гілки за частотами |
Поряд з рівноважними фононами, які ми розглядали, в твердому тілі можуть існувати нерівноважні фонони, збуджені зовнішнім механічним впливом чи електромагнітними полями (рис. 2.5). І хоча повне число нерівноважних фононів, як правило, мале, амплітуди відповідних їм хвиль можуть бути великими.
Нормальні моди (хвилі або коливання з певною частотою) кристалічної решітки можна вважати гармонічними осциляторами. Відповідно до квантової механіки [13] енергія гармонічного осцилятора
,
де
n
– число
фононів з хвильовим
вектором
на певній гілці.
При
Т=0К
фононів
немає
(n=0)
і
- енергії
нульових коливань.
Незважаючи на деяку штучність поняття квазічастинок, введення їх у розгляд (метод квазічастинок) значно спрощує вирішення багатьох питань і задач фізики твердого тіла. Наприклад, введення фононів дозволяє у багатьох випадках розглядати тверде тіло як ящик, в якому вміщується газ фононів [9]. Газ фононів має незвичайні властивості: фононів тим більше, чим вища температура, а при наближенні до Т=0К їх число прямує до нуля.
На сьогодні засобом експериментального спостереження хвиль у решітці є непружне розсіяння теплових нейтронів на фононах.