- •В.В. Бібик, т.М. Гричановська, л.В.Однодворець, н.І.Шумакова фізика твердого тіла
- •Isbn © Бібик в.В., Гричановська т.М.,
- •Однодворець л.В., Шумакова н.І., 2010
- •Передмова редактора
- •Розділ 1 будова твердих тіл
- •Операції і елементи симетрії
- •1.2. Елементарні комірки і решітки Браве
- •1.3. Обчислення періоду решітки
- •1.4. Кристалографічні символи
- •1.5 Типи зв’язків у твердих тілах
- •1.6 Анізотропія кристалів
- •1.7 Дефекти кристалів
- •Питання і завдання до розділу 1
- •Розділ 2 динаміка кристалічної решітки
- •2.1 Елементи теорії пружності
- •2.2 Уявлення про нормальні коливання решітки
- •2.3 Елементи квантової теорії пружних хвиль у кристалі
- •2.4 Спектр нормальних коливань решітки
- •Теплоємність кристалів при низьких і високих температурах
- •Питання і завдання до розділу 2
- •Розділ 3. Зонна теорія твердих тіл
- •3.1. Рівняння Шредінгера для кристала
- •3.2. Функція Блоха, теорема Блоха
- •3.3 Енергетичні зони кристала
- •3.4 Енергетичний спектр електронів у кристалі. Модель Кроніга-Пенні
- •3.5 Ефективна маса електрона в кристалі. Ізоенергетичні поверхні
- •Питання і завдання до розділу 3
- •Розділ 4 електронна теорія металів
- •4.1 Класична електронна теорія металів
- •4.2 Квантова статистика електронів у металі
- •4.3 Вироджений електронний фермі-газ у металах і його теплоємність
- •4.4 Кінетичне рівняння Больцмана для електрона в кристалі. Електропровідність металів
- •Питання і завдання до розділу 4
- •Розділ 5 електронна теорія напівпровідників
- •5.1. Загальна характеристика напівпровідників
- •5.2 Статистика електронів у напівпровідниках із власною провідністю
- •Елементи статистики електронів у домішкових напівпровідниках
- •5.4. Провідність напівпровідників
- •5.5 Ефект Холла у напівпровідниках
- •Питання і завдання до розділу 5
- •Електронна теорія магнетиків
- •6.1 Класифікація магнетиків
- •6.2. Діамагнетизм та парамагнетизм
- •6.3. Феромагнетизм, антиферомагнетизм, феримагнетизм
- •6.4 Феноменологічний опис феро- та антиферо-магнетизму
- •6.5. Взаємодії в упорядкованих магнетиках. Спінові хвилі
- •6.6. Елементи теорії Ландау. Процеси перемагнічування
- •Питання і завдання до розділу 6
- •Розділ 7 фазові переходи
- •7.1. Умови рівноваги фаз
- •7.2. Класифікація фазових переходів
- •7.3. Елементи теорії Ландау для фазових переходів другого роду
- •Питання і завдання до розділу 7
- •Задача 2
- •Розв’язання
- •Задача 9
- •Розв’язання
- •Задача 12
- •Розв’язання
- •Задача 13
- •Розв’язання
- •Додаток б (обов’язковий) Задачі для самостійного розв’язування
- •Додаток в (обов’язковий) Варіанти індивідуальних завдань
- •Список літератури
- •Фізика твердого тіла
3.4 Енергетичний спектр електронів у кристалі. Модель Кроніга-Пенні
Для знаходження енергетичного спектра електронів у кристалі необхідно розв’язати одноелектронне рівняння Шредінгера (3.2) з періодичним потенціалом решітки . Власні функції і власні значення цього рівняння значною мірою залежать від виду періодичного потенціалу. Точний розв’язок рівняння Шредінгера можна знайти, коли потенціал має вигляд послідовних прямокутних бар’єрів (модель Кроніга-Пенні). Розглянемо елементи моделі на прикладі одновимірного кристала, в якому його потенціальне поле для простоти замінюється лінійним періодичним ланцюжком потенціальних бар’єрів шириною b, що чергуються з прямокутними потенціальними ямами шириною а. Період такої решітки a+b (рис. 3.4). Висота кожного бар’єра .
Рисунок 3.4 - Залежність потенціальної енергії електрона від міжатомної відстані в моделі Кроніга-Пенні для одновимірного кристала
Рівняння руху електрона в такому кристалі також описується рівнянням Шредінгера
,
де - хвильова функція електрона; - стала Дірака (h- стала Планка).
Розв’язок даного рівняння будемо шукати у вигляді функції Блоха , де - функція координат, яка не залежить від хвильового вектора і є періодичною з періодом решітки, тобто
.
Після підстановки функції Блоха рівняння Шредінгера набуде вигляду
.
Розглянемо три області і для кожної запишемо рівняння Шредінгера.
Область 1. (0а, U(x)=0):
,
, де . (3.6)
Розв’язок (3.6) можна записати так:
; . (3.7)
Область 2. :
,
, де . (3.8)
Розв’язок (3.8) має такий вигляд:
. (3.9)
Область 3. фізично еквівалентна області 1 і тому для обчислення необхідно скористатися теоремою Блоха, згідно з якою хвильова функція, як і періодичний потенціал, задовольняють умови періодичності.
Для обчислення сталих інтегрування А, В, С і D необхідно скористатися граничними умовами та умовою неперервності та її першої похідної, тобто роз’язати систему рівнянь:
У загальній формі її можна записати як систему чотирьох лінійних однорідних рівнянь з чотирма невідомими:
. (3.11)
Умовою існування розв’язку системи є рівність нулю детермінанта (), складеного із коефіцієнтів при невідомих. Якщо визначник системи (3.11) то і постійні А, В, С і D = 0.
Після розкриття визначника четвертого порядку одержуємо
. 3.12)
Останнє рівняння зв'язує величини і , які містять власні значення енергії електрона з хвильовим вектором k. Отже, рівність (3.12) можна розглядати як співвідношення між і k. Розв'язати рівняння (3.12) складно. Тому в моделі вводять додаткові умови, що її спрощують. Розглянемо згідно з Кронігом та Пенні високі () та тонкі () бар'єри, але такі, що добуток є скінченним і сила потенціального бар’єру . Це означає, що , тоді із однаковими темпами. Оскільки , то
.
Проведемо оцінку :
~, оскільки
.
Таким чином, .
При малих значеннях - гіперболічні величини ~1, а ~.
Якщо врахувати, що <<, , >> і <<, то співвідношення (3.12) перепишеться так:
. (3.12')
Можна подати і так:
. (3.12'')
Введемо параметр Г, позначивши множник=Г>0.
Зазначимо, що згідно з означенням величина Г є мірою ефективної площі кожного бар'єра, тобто характеризує ступінь прозорості бар'єра для електрона або ступінь зв'язаності електрона в потенціальній ямі. Тоді рівняння (3.12''), з урахуванням , записують у вигляді
Г. (3.12''')
Оскільки є парною функцією (заміна k на -k не змінює рівняння), то із співвідношення (3.12''') випливає, що енергія електрона є також парною функцією від k: (k)=(-k). Рівняння (3.12''') розв’язується графічним методом. Точки перетину Г і (рис. 3.5) є корені (3.12'''). Бачимо, що кожному значенню хвильового числа k відповідає декілька значень енергії, оскільки .
Якщо розглядати всю сукупність електронів, то спектр їх хвильових чисел забезпечує межі зміни від -1 до
1.Тоді розв’язками рівняння (3.12''') будуть не окремі точки, а інтервали енергії , і т.д., які одержали назву енергетичних зон.
Рисунок 3.5 - Графічний розв`язок рівняння (3.12'''). Дозволені значення замальовані
Ліва частина рівняння (3.12''') зображена суцільною лінією. Оскільки може набувати значення в інтервалі [-1,1], то дозволеними значеннями є такі, для яких ліва частина рівняння (3.12''') не виходить за вказані межі. На рис 3.5 інтервали дозволених значень замальовані . Ширина цих інтервалів залежить від Г: із зменшенням Г їх ширина зростає. Крім того, ширина інтервалів залежить також від : якщо Г фіксоване, то ці інтервали збільшуються із зростанням .
Із співвідношень (3.7) та (3.9) випливає, що такі самі висновки стосуються енергії. Відтак, енергія електрона в полі періодичного потенціалу не може набувати довільних значень: існують зони дозволених та заборонених значень енергії.
Проаналізуємо, як змінюватиметься спектр електронів у двох граничних випадках: і . Випадок відповідає умові , тобто майже вільному електрону (наближення слабкого зв'язку). Із співвідношення (3.12''') отримаємо , тобто , і оскільки енергія є парною функцією хвильового числа , із співвідношення (3.7) отримують такий вираз для енергії електрона:
. (3.13)
Цей вираз збігається із залежністю (k) для вільних електронів.
В іншому граничному випадку (при ) бачимо, що . Фізично це означає, що електрон локалізований у нескінченно глибокій ямі, тобто є сильно зв'язаним (наближення сильного зв'язку). При з рівняння (3.12''') отримаємо , тобто , де і т.д.
З умови (3.9) отримаємо
. (3.14)
Отже, при система енергетичних зон вироджується у систему рівнів.