- •В.В. Бібик, т.М. Гричановська, л.В.Однодворець, н.І.Шумакова фізика твердого тіла
- •Isbn © Бібик в.В., Гричановська т.М.,
- •Однодворець л.В., Шумакова н.І., 2010
- •Передмова редактора
- •Розділ 1 будова твердих тіл
- •Операції і елементи симетрії
- •1.2. Елементарні комірки і решітки Браве
- •1.3. Обчислення періоду решітки
- •1.4. Кристалографічні символи
- •1.5 Типи зв’язків у твердих тілах
- •1.6 Анізотропія кристалів
- •1.7 Дефекти кристалів
- •Питання і завдання до розділу 1
- •Розділ 2 динаміка кристалічної решітки
- •2.1 Елементи теорії пружності
- •2.2 Уявлення про нормальні коливання решітки
- •2.3 Елементи квантової теорії пружних хвиль у кристалі
- •2.4 Спектр нормальних коливань решітки
- •Теплоємність кристалів при низьких і високих температурах
- •Питання і завдання до розділу 2
- •Розділ 3. Зонна теорія твердих тіл
- •3.1. Рівняння Шредінгера для кристала
- •3.2. Функція Блоха, теорема Блоха
- •3.3 Енергетичні зони кристала
- •3.4 Енергетичний спектр електронів у кристалі. Модель Кроніга-Пенні
- •3.5 Ефективна маса електрона в кристалі. Ізоенергетичні поверхні
- •Питання і завдання до розділу 3
- •Розділ 4 електронна теорія металів
- •4.1 Класична електронна теорія металів
- •4.2 Квантова статистика електронів у металі
- •4.3 Вироджений електронний фермі-газ у металах і його теплоємність
- •4.4 Кінетичне рівняння Больцмана для електрона в кристалі. Електропровідність металів
- •Питання і завдання до розділу 4
- •Розділ 5 електронна теорія напівпровідників
- •5.1. Загальна характеристика напівпровідників
- •5.2 Статистика електронів у напівпровідниках із власною провідністю
- •Елементи статистики електронів у домішкових напівпровідниках
- •5.4. Провідність напівпровідників
- •5.5 Ефект Холла у напівпровідниках
- •Питання і завдання до розділу 5
- •Електронна теорія магнетиків
- •6.1 Класифікація магнетиків
- •6.2. Діамагнетизм та парамагнетизм
- •6.3. Феромагнетизм, антиферомагнетизм, феримагнетизм
- •6.4 Феноменологічний опис феро- та антиферо-магнетизму
- •6.5. Взаємодії в упорядкованих магнетиках. Спінові хвилі
- •6.6. Елементи теорії Ландау. Процеси перемагнічування
- •Питання і завдання до розділу 6
- •Розділ 7 фазові переходи
- •7.1. Умови рівноваги фаз
- •7.2. Класифікація фазових переходів
- •7.3. Елементи теорії Ландау для фазових переходів другого роду
- •Питання і завдання до розділу 7
- •Задача 2
- •Розв’язання
- •Задача 9
- •Розв’язання
- •Задача 12
- •Розв’язання
- •Задача 13
- •Розв’язання
- •Додаток б (обов’язковий) Задачі для самостійного розв’язування
- •Додаток в (обов’язковий) Варіанти індивідуальних завдань
- •Список літератури
- •Фізика твердого тіла
4.4 Кінетичне рівняння Больцмана для електрона в кристалі. Електропровідність металів
У стані рівноваги всі вільні електрони беруть участь у невпорядкованому тепловому русі. При цьому, виходячи із симетрії функції розподілу, кількість електронів, що рухаються у протилежних напрямках, однакова, а, отже, макроскопічні електричні струми відсутні. Якщо до зразка прикладено електричне поле, то, рухаючись під його дією, електрон набуде не тільки додаткової швидкості , а й додаткової енергії . Якби ніякі процеси не перешкоджали збільшенню швидкості електрона, то вона нескінченно б зростала. Але в дійсності електрони час від часу зіштовхуються один з одним, з фононами та дефектами. У зв’язку з цими процесами було введено величину - середній час релаксації, час впродовж якого електрон безперешкодно прискорюється. Отже, для того щоб підтримувався стаціонарний стан, необхідне існування таких зіткнень, при яких електрон міг би втрачати не тільки імпульс, а й додаткову енергію. Зіткнення першого типу (тобто без значних втрат енергії) називаються пружними, другого – непружними. Розгляд цих процесів [16] показав, що можливі два типи майже пружних зіткнень електронів – з дефектами і акустичними фононами і два непружних – з оптичними фононами та міжелектронні, які відіграють суттєву роль лише в обмеженому інтервалі температур і концентрацій. Отже, рівнянь напівкласичної динаміки, наприклад (3.15), виявилося недостатнім для розрахунку інтегральних характеристик твердого тіла, які визначаються блохівськими електронами, - провідності, потоку тепла та ін. Необхідно знати ще нерівноважну функцію розподілу , оскільки проходження струму - це нерівноважний процес. На відміну від п. 4.2, де використосувалася функція розподілу за енергіями, функція - функція розподілу у -просторі (-просторі), яка визначається так: середнє число електронів, що знаходяться у деякому нерівноважному стані з квазіімпульсом в n-й енергетичній зоні в елементі об’єму в момент часу t , становить . Якщо n-а енергетична зона заповнена повністю, то густина струму в ній (і потік енергії, яку переносять електрони) дорівнює нулю [12]. Якщо n-а енергетична зона заповнена не повністю (наприклад, у металах), то густина струму в ній
, (4.6)
де - частка функції розподілу Фермі-Дірака, яка пов'язана лише із тими електронами, які беруть участь в електропровідності (їх енергетичні стани розміщуються у розмитті функції Фермі-Дірака, яка показана на рис. 4.3).
Для знаходження функції використовується кінетичне рівняння Больцмана
, (4.7)
де - градієнт функції розподілу в напрямку ; - градієнт функції розподілу в напрямку .
|
Рисунок 4.3 - Розмиття функції Фермі-Дірака при збільшенні енергії електрона: 1 - при Т=0К; 2 - при Т>0К і ; 3- при Т>0К і ; 4 - для кривої 2 |
У лівій частині рівняння (4.7), яке розглянуто в [17, 18], стоятиме нуль за відсутності зіткнень електронів з іншими частинками чи квазічастинками у відповідності до теореми Ліувілля. Теорема стверджує: об’єм елемента фазового простору зберігається під час руху, якщо відсутні зіткнення (тобто зберігається і число частинок), отже, функція розподілу залишається постійною, а .
У реальному кристалі відбуваються процеси зіткнення електронів із фононами, дефектами, домішками та електронами і тому в правій частині замість нуля необхідно записати похідну змінної функції розподілу - , яку Больцман назвав інтегралом зіткнень, оскільки при її обчисленні необхідно інтегрувати за всіма змінними, що впливають на імовірність зіткнень. Тоді кінетичне рівняння у самому загальному випадку запишеться так:
, (4.8)
де - сила, яка діє на електрон; - середня швидкість дрейфу електрона у зовнішньому електричному полі.
Труднощі при розв’язанні (4.8) вимагають використання наближення часу релаксації, що дає можливість записати інтеграл зіткнень у вигляді
, (4.9)
де f0 – локально і миттєво рівноважна функція розподілу (вона була б, якщо при даних мала б місце рівновага); - параметр, що визначає швидкість наближення до рівноваги (час релаксації), .
Припущення (4.8) означає, що швидкість зміни числа частинок у даному стані пропорційна відмінності цього числа від того, яке б було за умови, що миттєві значення всіх параметрів, що впливають на нього, були б «заморожені», і мала б місце рівновага.
Для розрахунку електричної провідності металів скористаємося співвідношенням (4.6). Нерівноважну функцію можна знайти із кінетичного рівняння Больцмана (4.8). Для спрощення, розглянемо випадок однорідного стаціонарного струму за відсутності магнітного поля і градієнта температур та, скориставшись наближенням (4.9). При цьому функція f буде залежати лише від () і матиме вигляд
.
Позначимо і вважатимемо електричне поле малим та, враховуючи рівняння напівкласичної динаміки (3.15), отримаємо для статичної електропровідності
. (4.10)
Підставивши (4.10) у співвідношення (4.6), отримаємо
, (4.11)
де - похідна функції розподілу до прикладення зовнішнього електричного поля (рис. 4.3);
- час, який необхідний для переходу розподілу 3 на рис. 4.3 у розподіл 2 (час релаксації).
Для аналізу температурної залежності питомого опору металевого провідника достатньо виділити із (4.11) множник, який пов'язаний із питомою провідністю, скориставшись законом Ома в диференціальній формі . Отже, питома провідність у випадку ізотропного середовища - скаляр (напрямки збігаються):
. (4.12)
Оскільки основний внесок в електропровідність металів дають електрони із розмиття функції Фермі-Дірака, то попередній вираз спрощується до вигляду
,
де - густина енергетичних станів на рівні Фермі (рис. 4.4); vф – середня швидкість електронів на поверхні Фермі.
|
Рисунок 4.4 - Залежність густини енергетичних станів електронів від енергії |
Після відповідних перетворень (в граничному випадку вільних електронів) можна одержати співвідношення, яке випливає з класичної теорії Друде і з квантової теорії Зоммерфельда:
. (4.13)
Величина визначається механізмами розсіяння електронів. Якщо таких механізмів є декілька, то їх вклади в , тобто (відповідно до формул (4.12) та (4.13)) в питомий опір є адитивними. Це твердження називають правилом Матіссена. Як зазначалося вище, електрони в твердому тілі розсіюються на всіх порушеннях періодичності кристалічної структури (на статичних і динамічних). Внесок статичних дефектів у питомий опір суттєво не залежить від температури, і вони визначають залишковий (при Т0К) питомий опір . Найважливішими із динамічних порушень періодичності є фонони. Розрахунки і експеримент показують, що механізм розсіяння електронів на фононах дає основний внесок в [12]. На рис. 4.5 наведена температурна залежність питомого опору металу, обумовлена розсіянням електронів на фононах . У двох граничних випадках: при високих температурах (Т>>) ~~T; при низьких температурах (Т<<) ~~. При проміжних значеннях температури (0<Т<) ~Тn, де 1<n<5.
|
Рисунок 4.5 - Температурна залежність опору металу, обумовлена роз-сіянням електронів на фононах |
Додатково внесок в питомий опір металів можуть додавати і розсіяння електронів на магнонах (ефект Кондо), і розсіяння електронів на електронах, вплив якого на опір пояснюється з позицій Фермі-рідини Ландау [19].