Задача 9

Скільки вільних електронів припадає на один атом натрію при температурі Т=0 К. Енергія Фермі для натрію дорівнює 3,12 еВ. Густина натрію .

Розв’язання

Кількість електронів dN в елементі фазового простору , де V – об’єм кристала; р - імпульс електрона

де 2 означає кратність виродження енергетичних рівнів;

– функція розподілу Фермі-Дірака.

У нашому випадку при Т=0 К, , тоді

.

Якщо врахувати, що

де m – маса електрона, то

.

При абсолютному нулі температури максимальна енергія електронів у металі дорівнює енергії Фермі. Враховуючи це, одержуємо концентрацію електронів у металі

Концентрація атомів ,

де – молярна маса речовини кристала.

Таким чином, маємо кінцеву формулу

.

Відповідь: .

Задача 10

Знаючи функцію розподілу електронів у металі за енергіями

,

знайти розподіл dn(p) за імпульсами: 1) при довільній температурі Т; 2) при температурі Т=0 К.

Розв’язання

Для переходу від розподілу за енергіями до розподілу за імпульсами скористаємося зв’язком між енергією та імпульсом

тоді

.

Якщо температура кристала Т=0 К, то ,

оскільки функція розподілу Фермі-Дірака у цьому випадку дорівнює одиниці.

Відповідь:

Задача 11

Знаючи розподіл dn(v) електронів у металі за швидкостями, виразити <1/v> через максимальну швидкість електронів у металі. Метал перебуває при Т=0 К.

Розв’язання

Розподіл електронів у металі за швидкостями при Т=0 К має вигляд

Середнє значення <1\v> можна знайти за формулою

,

де W – ймовірність того, що електрон має швидкість від v до v+dv. Ймовірність можна знайти так:

.

Таким чином, одержуємо

.

Відповідь: .

Задача 12

Напівпровідник у вигляді тонкої пластини шириною l=1см і довжиною L=10 см помістили в однорідне магнітне поле з індукцією B=0,2Тл. Вектор магнітної індукції перпендикулярний до площини пластини. До кінців пластини (у напрямку L) прикладена стала напруга U=300B. Визначити холлівську різницю потенціалів на гранях пластини, якщо стала Холла , питомий опір Ом м.

Розв’язання

Під дією сили Лоренца електрони будуть рухатися до однієї з бічних граней пластини, у результаті чого виникне холлівська різниця потенціалів, зв’язана з напруженістю електричного поля Холла співвідношенням

Процес перерозподілу електронів буде продовжуватися до того часу, поки сила Лоренца не зрівноважиться кулонівською силою

тобто

Дрейфову швидкість електронів v можна знайти із виразу для густини струму j:

j=nev,

де n – концентрація електронів.

Таким чином,

де I – сила струму в провіднику; S – площа поперечного перерізу провідника. Звідси випливає

,

де R– опір пластинки, тоді

.

Відповідь: