- •В.В. Бібик, т.М. Гричановська, л.В.Однодворець, н.І.Шумакова фізика твердого тіла
- •Isbn © Бібик в.В., Гричановська т.М.,
- •Однодворець л.В., Шумакова н.І., 2010
- •Передмова редактора
- •Розділ 1 будова твердих тіл
- •Операції і елементи симетрії
- •1.2. Елементарні комірки і решітки Браве
- •1.3. Обчислення періоду решітки
- •1.4. Кристалографічні символи
- •1.5 Типи зв’язків у твердих тілах
- •1.6 Анізотропія кристалів
- •1.7 Дефекти кристалів
- •Питання і завдання до розділу 1
- •Розділ 2 динаміка кристалічної решітки
- •2.1 Елементи теорії пружності
- •2.2 Уявлення про нормальні коливання решітки
- •2.3 Елементи квантової теорії пружних хвиль у кристалі
- •2.4 Спектр нормальних коливань решітки
- •Теплоємність кристалів при низьких і високих температурах
- •Питання і завдання до розділу 2
- •Розділ 3. Зонна теорія твердих тіл
- •3.1. Рівняння Шредінгера для кристала
- •3.2. Функція Блоха, теорема Блоха
- •3.3 Енергетичні зони кристала
- •3.4 Енергетичний спектр електронів у кристалі. Модель Кроніга-Пенні
- •3.5 Ефективна маса електрона в кристалі. Ізоенергетичні поверхні
- •Питання і завдання до розділу 3
- •Розділ 4 електронна теорія металів
- •4.1 Класична електронна теорія металів
- •4.2 Квантова статистика електронів у металі
- •4.3 Вироджений електронний фермі-газ у металах і його теплоємність
- •4.4 Кінетичне рівняння Больцмана для електрона в кристалі. Електропровідність металів
- •Питання і завдання до розділу 4
- •Розділ 5 електронна теорія напівпровідників
- •5.1. Загальна характеристика напівпровідників
- •5.2 Статистика електронів у напівпровідниках із власною провідністю
- •Елементи статистики електронів у домішкових напівпровідниках
- •5.4. Провідність напівпровідників
- •5.5 Ефект Холла у напівпровідниках
- •Питання і завдання до розділу 5
- •Електронна теорія магнетиків
- •6.1 Класифікація магнетиків
- •6.2. Діамагнетизм та парамагнетизм
- •6.3. Феромагнетизм, антиферомагнетизм, феримагнетизм
- •6.4 Феноменологічний опис феро- та антиферо-магнетизму
- •6.5. Взаємодії в упорядкованих магнетиках. Спінові хвилі
- •6.6. Елементи теорії Ландау. Процеси перемагнічування
- •Питання і завдання до розділу 6
- •Розділ 7 фазові переходи
- •7.1. Умови рівноваги фаз
- •7.2. Класифікація фазових переходів
- •7.3. Елементи теорії Ландау для фазових переходів другого роду
- •Питання і завдання до розділу 7
- •Задача 2
- •Розв’язання
- •Задача 9
- •Розв’язання
- •Задача 12
- •Розв’язання
- •Задача 13
- •Розв’язання
- •Додаток б (обов’язковий) Задачі для самостійного розв’язування
- •Додаток в (обов’язковий) Варіанти індивідуальних завдань
- •Список літератури
- •Фізика твердого тіла
3.2. Функція Блоха, теорема Блоха
Найчастіше для вибору функції при розв'язуванні одноелектронної задачі використовують стан електрона, що перебуває у потенціальному полі іонів, заряд яких у середньому скомпенсований зарядом валентних електронів. З характеристик кристалічного стану випливає, що цей потенціал періодичний, тобто потенціал має тривимірну періодичність решітки. Як відомо, в ідеальному кристалі атоми розміщені періодично в просторі. Це означає, що існує вектор , при зміщенні кристала на який кристал суміщається сам із собою. Отже, точки кристала з радіусами- векторами та є фізично еквівалентними, тому
.
Останнє співвідношення виражає умову періодичності потенціального поля кристала.
Якщо хвильова функція електрона є невиродженою, то в періодичному полі кристала вона відрізняється від хвильової функції тільки постійним множником, тобто
.
З умови нормування хвильової функції випливає, що
|С|2=1,
а отже, множник C можна подати у вигляді
,
оскільки квадрат модуля цієї величини дорівнює одиниці.
В останньому виразі - постійний вектор, який характеризує квантовий стан електрона у кристалі. Його називають хвильовим вектором - , він має розмірність оберненої довжини, тому добуток є безрозмірним.
З останніх рівнянь випливає, що
. (3.3)
Отже, стаціонарна хвильова функція електрона у періодичному полі кристала залежить від хвильового вектора і має вигляд
, (3.4)
де - плоска хвиля, що поширюється в напрямі вектора ; а - певна функція координат, яка не залежить від хвильового вектора і є періодичною з періодом решітки. Функції виду називають функціями Блоха, а періодичність її амплітуди - теоремою Блоха.
Підставивши (3.4) в (3.1), дістанемо
, (3.5)
а, відтак, енергія електрона в кристалі повинна залежати від хвильового вектора , тобто Е=Е(). Отже, розв'язком рівняння Шредінгера для електрона в періодичному полі кристала є біжуча плоска хвиля, модульована з періодом решітки, а енергія електрона залежить від хвильового вектора .
Це означає, що для того, щоб отримати фундаментальні результати теорії, немає потреби знати числові значення силового поля (які неможливо визначити), досить знати, що воно є періодичним, а його періоди збігаються з періодами решітки.
Порівняно з хвильовим вектором вільних електронів вектор , який характеризує стан хвильової функції в кристалі, має певні особливості. Одна з них виражається співвідношенням (3.3) і полягає у тому, що зміщення на вектор кристалічної решітки зводиться до множення хвильової функції на . Інша важлива особливість хвильового вектора полягає в тому, що до довільного вектора , який характеризує стан електрона в кристалі, можна додати довільний вектор оберненої решітки , причому така зміна не приводить до зміни стану електрона. З цього випливає, що вектор визначається з точністю до вектора оберненої решітки , а стани електрона з та + є еквівалентними. Оскільки вектор визначений не зовсім однозначно, він набуває властивостей, які відрізняють його від хвильового вектора вільних електронів. З цієї причини називають не хвильовим вектором, а квазіхвильовим вектором. Відповідно пов'язаний з ним імпульс = називають квазіімпульсом, а частинки, що рухаються в кристалах і описуються векторами , називають квазічастинками.
Вектор визначений з точністю до вектора , тому довільну функцію, що описує кристал, можна перевести у довільну (звичайно першу) зону Бриллюена. Така процедура називається зведенням до першої зони Бриллюена. Перевага схеми зведених зон полягає в тому, що аналіз поведінки певної функції достатньо провести тільки в одній зоні.