Питання і завдання до розділу 7

1. Назвіть основний принцип формування структури кристалів.

2. Дайте означення фази речовини і фазового переходу.

3. Сформулюйте і виведіть умову рівноваги двох фаз.

4. Назвіть ознаки фазового переходу першого роду та наведіть приклади відповідних процесів.

5. Поясніть, яке явище називають температурним гістерезисом.

6. Запишіть формулу Клапейрона-Клаузіуса та поясніть, які процеси вона визначає.

7. Назвіть ознаки фазового переходу другого роду та наведіть приклади відповідних процесів.

8. Сформулюйте основні положення і висновки теорії фазових переходів другого роду, створеної Л. Ландау.

_{Додаток А}

_{(обов’язковий)}

_{Приклади розв’язування задач}

_{Задача 1}

Написати індекси напрямку прямої, яка проходить через вузли [[100]] та [[001]] примітивної кубічної решітки [22].

Розв’язання

Зобразимо примітивну кубічну решітку, відмітимо на ній вузли з індексами [[100]] та [[001]] і проведемо через ці вузли пряму (Рис. А.1, а).

Якби пряма проходила через початок координат, то індекси її напрямку збіглися б з індексами вузла, найближчого до початку координат із вузлів, через які проходить пряма.

Якщо перенести початок координат у вузол [[100]] (Рис. А.1, б), то вузол, який лежить на тій самій прямій і найближчий до вибраного початку координат, буде мати індекси [[01]], а шуканий напрямок у цьому випадку визначається індексами [01].

Якщо ж початок координат перенести у вузол [[001]] (Рис. А.1, в) , то відповідно індекси напрямку будуть [10]. Отже, індекси шуканого напрямку в кристалі [01] або [10].

а б в

Рисунок А.1 - Пояснення до задачі 1

Не завжди можна легко визначити, як змінюються індекси вузлів при перенесенні початку координат. Тому розглянемо аналітичний метод розв’язання задачі.

Напишемо у загальному вигляді рівняння прямої, яка проходить через дві точки у просторі, з індексами вузлів [[m₁n₁p₁]] та [[m₂n₂p₂]]:

. (1)

Величини, які утворюються у знаменнику, пропорційні напрямним косинусам прямої. Оскільки ці величини - цілі числа, то вони і будуть індексами напрямку.

Підставимо у знаменник виразу (1) значення індексів вузлів m₁=1, n₁=0, p₁=0 та m₂=0, n ₂=0, p₂=1 і отримаємо:

m₂ – m₁ =0–1=–1,

n₂ – n₁ =0–0= 0,

p₂ – p₁ =1–0=1.

Таким чином, шукані індекси напрямку [01].

Відповідь: індекси напрямку [01].

Задача 2

Написати індекси Міллера для площини, яка має вузли з індексами [[200]], [[010]] [[001]]. Решітка примітивна, кубічна [22].

Розв’язання

Можливі два способи розв’язання задачі. Перший спосіб застосовується тоді, коли вузли, що належать площині, одночасно лежать і на осях координат (тобто відомі відрізки, відсічені площиною на осях координат).

У даному випадку вузли, лежать на осях координат, отже, відрізки (в одиницях сталої решітки), які відсікаються на осях координат цією площиною, відповідно будуть 2, 1, 1 (Рис. А.2). У відповідності до загального правила знаходження індексів Міллера запишемо зворотні значення отриманих чисел та зведемо їх до найменшого спільного знаменника. Отримана сукупність значень у чисельниках дробів і є шуканими індексами Міллера (122).

Рисунок А.2 - Схематичне зображення кристало­графіч­ної площини

Другий спосіб (аналітичний) особливо зручний тоді, коли відомі вузли не лежать на осях координат. Цей спосіб є загальним і застосовується у всіх випадках.

Відомо, що індекси Міллера дорівнюють найменшим цілочисловим коефіцієнтам при змінних у загальному рівнянні площини. Тому розв’язання задачі з визначення індексів Міллера зводиться до знаходження рівняння площини.

Рівняння площини, що проходить через три точки з координатами [[m₁n₁p₁]], [[m₂n₂p₂]], [[m₃n₃p₃]], задається визначником третього порядку

.

У нашому випадку: m₁=2, n₁=0, p₁=0; m₂=0, n₂=1, p₂=0; m₃=0, n₃=0, p₃=0. Підставляючи значення індексів вузлів у визначник, отримаємо

.

Розкладемо цей визначник за елементами першого рядка

.

Розкривши визначник другого порядку, отримаємо

(x-2)(+1)-y(-2)+z(+2)=0 або x+2y+2z=2.

Коефіцієнти при x, y, z і є індексами Міллера (122).

Ці значення індексів, як і слід було очікувати, збігаються із значеннями, отриманими першим способом.

Відповідь: індекси Міллера (122).

_{Задача 3}

_{Визначити відносну атомну масу кристала, якщо відомо, що відстань d між найближчими сусідніми атомами дорівнює 0,304 нм. Густина ρ кристала дорівнює 534. Решітка об’ємноцентрована кубічної сингонії.}

_{Розв’язання}

_{Маса кристала , де об’єм кристала (- об’єм однієї елементарної комірки), число елементарних комірок у кристалі масою m; =}^.₁₀^-3 _{- молярна маса, виміряна в кг/моль; n =2 - кількість атомів в елементарній комірці ОЦК-решітки.}

_{Таким чином, отримуємо співвідношення}

_,

_{звідки знаходимо} ;

.

За таблицею Менделєєва знаходимо, що це літій.

Відповідь:=6,95.

Задача 4

_{Знайти сталу решітки (а) і відстань (d) між найближчими сусідніми атомами кристала:}

_{1) алюмінію (ГЦК - решітка);}

_{2) вольфраму (ОЦК - решітка).}

_{Розв’язання}

_{Густину кристалів можна знайти як відношення маси елементарної комірки m до її об’єму V:}

де - маса одного атома; n- кількість атомів в одній елементарній комірці (для ГЦК – решітки n=4, для ОЦК - решітки n=2); а- параметр решітки (a=d для ГЦК-решітки, для ОЦК-решітки); - молярна маса речовини кристала. Таким чином, виконуємо розрахунки за формулою

.

1. Для А1

2. Для W

Відповідь: 1) а=0,404нм, d=0,286нм; 2) а=0,316нм, d=0,274нм.

Задача 5

Обчислити максимальну частоту Дебая, якщо відомо, що молярна теплоємність срібла при Т=20K дорівнює 1,7Дж/(моль К).

Розв’язання

Частота Дебая зв’язана з температурою Дебая таким співвідношенням:

.

Відповідно до теорії теплоємності кристалів Дебая в області низьких температур

тоді

Відповідь: .

Задача 6

Для нагрівання срібла масою m=10г від 10К до 20К було витрачено Дж тепла. Визначити характеристичну температуру Дебая срібла. Вважати .

Розв’язання

Частота Дебая зв’язана з температурою Дебая співвідношенням

.

Відповідно до теорії теплоємності Дебая кристалів в області низьких температур

тоді

,

де кг/моль – молярна маса срібла,

звідки знаходимо

.

Відповідь: .

Задача 7

Період d решітки одновимірного кристала дорівнює 0,3 нм. Знайти максимальну енергію фононів, якщо усереднена швидкість звуку в кристалі v=5 км/с.

Розв’язання

Максимальна енергія фонона визначається за формулою

,

де – максимально можлива частота коливань у кристалі; – мінімальна довжина хвилі, яка може реалізуватись у кристалі.

Відповідь: .

Задача 8

Визначити усереднену швидкість звуку у кристалі, характеристична температура якого 300К. Міжатомна відстань d у кристалі дорівнює 0,25 нм.

Розв’язання

Відповідно до визначення

де – максимально можлива частота коливань у кристалі; – мінімальна довжина хвилі, яка може реалізуватись у кристалі ( див. рис. 2.1).

Таким чином,

Відповідь: .