Описание дискретных систем в терминах пространства состояния

В отличие от непрерывных систем при описании дискретных систем в терминах пространства состояния рассматриваются отдельно следующие моменты времени:

1. Момент замыкания ключей.

- время после замыкания ключей,

, где В – матрица ключей.

Описывается системой переходных состояния.

2. Момент между замыканиями ключей.

Поведение системы описывается системой дифференциальных уравнений:

, где А – матрица коэффициентов.

Точно также, как и для непрерывных систем, структурная схема дискретных систем преобразуется в схемы переменных состояния. Схемы переменных состояния могут быть получены тремя способами: методом прямого, параллельного и последовательного программирования.

Рассмотрим все методы на примере системы второго порядка. Базовый элемент для дискретных систем выглядит следующим образом:

Метод прямого программирования

В

ыберем вектор состояния:.

Опишем дискретную систему в двух случаях.

1. В момент замыкания ключей:

2. В момент между замыканиями ключей:

Метод параллельного программирования

Дискретная передаточная функция представлена суммой дробно-рациональных выражений:

.

1

. В момент замыкания ключей:

2. В момент между замыканиями ключей:

Метод последовательного программирования

Дискретная передаточная функция представлена суммой дробно-рациональных выражений:

.

1. В момент замыкания ключей:

2. В момент между замыканиями ключей:

Метод последовательного программирования применяется если дискретная система представлена структурной схемой, состоящей из некоторых звеньев, каждое из которых может быть заменено СПС построенных методом прямого либо параллельного программирования.

Анализ дискретно-непрерывных систем методом

переходных состояния

Рассмотрим анализ дискретно-непрерывных систем на следующем примере.

Схема состояния такой системы будет иметь вид:

1

. В момент замыкания ключей.

Выберем вектор состояния - .

Для дискретной части:

Для непрерывной части:

,

т.е. непрерывная часть на момент замыкания ключей не реагирует.

Матрица ключей В будет иметь вид - .

2. В момент между замыканиями ключей система описывается с помощью дифференциальных уравнений.

Матрица коэффициентов в данном случае будет иметь вид:

Поведение дискретной непрерывной системы описывается в разные моменты времени следующими уравнениями:

Если в уравнение (***) подставить выражение (*), то получим:

,

где Н(Т₀) – включает в себя свойства как непрерывной, так и дискретной системы.

Тогда выражение для анализа дискретной непрерывной системы методом переходных состояний будет выглядеть следующим образом:

.

Выбор Т₀ осуществляется из теоремы Котельникова-Шенона, по формуле

, где _max – максимальная частота в спектре сигнала, Т₀=1/2 –1/4 minT_i – выбирается из минимальной постоянной времени.

Метод переменного коэффициента усиления.

y=- управляемая величина;

m – управляющая последовательность цифрового регулятора;

e – ошибка управления.

Цель синтеза сводится к определению передаточной функции:

Критерием метода переменного коэффициента усиления является быстродействие. Данный метод обеспечивает быстродействие и время переходного процесса (гдеn- порядок объекта) без перерегулирования (%=0).

Начальным условием для синтеза является описание объекта либо передаточной функцией, либо структурной схемой. Далее строится схема переменных состояний цифровой системы управления любым методом.

По схеме переменных состояний определяются матрица коэффициентов А и матрица выхода C. Затем выбирается Т₀ и определяется расширенная матрица перехода Ф(Т₀).

Для получения матрицы А можно в качестве одной из переменных выбрать либо величину сигнала ошибки e (см. ниже случай а), либо величину управляющего сигнала m (см. ниже случай б). Мы будем использовать случай б).

а).

- обобщенный вектор По схеме переменных состояний:

б).

Матрица C определяется уравнением Y = CV(t)

Выбор интервала дискретности.

Для синтеза цифровой системы управления используют прикладное правило выбора Т₀:

, где - минимальная постоянная времени объекта.

Получение изображения матрицы перехода.

После выбора Т₀ можно определить Ф(Т₀).

Если в качестве переменной выбран сигнал m, то матрица А является числовой и при расчёте расширенной матрицы перехода Ф(Т₀) удобно воспользоваться методом разложения в ряд , который реализован в пакете Matlab (команда expm(M), где M – имя матрицы).

В полученной матрице Ф(Т₀) выделяем матрицы Р и F.

где Р – столбец из n-строк - определяет реакцию объекта на управляющую последовательность;

F - матрица размером n*n – матрица перехода непосредственно объекта.

Получение формулы для расчёта величин управляющих воздействий.

Поведение системы между замыканием ключей можно описать:

где

Рассмотрим поведение системы от момента времени t=0 до момента t=nT₀.

Между замыканием ключей:

В момент замыкания ключей:

В момент nT₀:

Из этого уравнения можно получить значения управляющих сигналов, задавшись вектором .

Определение :

- по схеме, учитывая, что на момент окончания переходного процесса выход системы должен быть равен её входу, а входы интеграторов должны быть равными нулю. Это условие можно описать следующими векторными уравнениями:

Определение величин управляющих воздействий:

Управляющие воздействия находятся из уравнения

Остальные величины управляющих воздействий – из условия:

(*)

Определение величин ошибок:

С учётом схемы, из уравнений, вида:

для нашего примера:

где р1 – первый элемент вектора Р;

F1 – первая строка матрицы F.

(**)

Определение дискретной передаточной функции регулятора.

После нахождения последовательностей управляющих сигналов и ошибок, можем записать дискретную передаточную функция регулятора:

С учётом уравнений (*) и (**) получаем:

где ,,

, ,.