Линейная интегральная оценка

Простейшей интегральной оценкой является линейная интегральная оценка

,

которая равна площади, заключённой между прямой и кривой ПП:

Интегральная оценка учитывает как величину динамических отклонений, так и длительность их существования. Поэтому, чем меньше оценка (область S), тем лучше качество процессов управления, тем быстрее заканчивается ПП, тем меньше отклонение сигнала y(t) от y_з.

Разность под знаком интеграла равна динамической или переходной составляющей сигнала ошибки:

.

Поэтому линейную интегральную оценку чаще определяют в таком виде:

Метод Кулебакина

.

Рассмотрим следующую передаточную функцию:

.

В качестве входного сигнала x(t) рассмотрим ступенчатое воздействие r(t).

,

тогда , а.

Интегральная схема будет выглядеть так:

Если рассматривать минимум этой функции, то он будет достигаться при выполнении равенства

это идеальный переходный процесс (площадь S – min).

Т.о. выбирая коэффициенты передаточной функции в соответствии с равенством (*), можно достичь заданных показателей качества.

Модульная интегральная оценка

Но недостатком линейной интегральной оценки является то, что её можно применять только для монотонных (апериодических) переходных процессов.

Интеграл, вычисленный для знакопеременной кривой 1 , будет существенно меньше интеграла, вычисленного для апериодической кривой 2, хотя качество ПП для кривой 2 явно лучше.

В связи с этим для колебательных переходных процессов применяют такие интегральные оценки, знакопеременность подынтегральной функции которых тем или иным способом устранена. Такими оценками являются, например, модульная интегральная оценка (ИМО – интеграл от модуля ошибки):

И её модификация (ИВМО – интеграл от взвешенного модуля ошибки)

Эта оценка придаёт больший вес тем значениям сигнала ошибки, которые имеют место в конце ПП.

Квадратичная интегральная оценка

Для колебательных процессов наиболее широко применяется квадратичная интегральная оценка (ИКО – интеграл квадрата ошибки), которая определяется по формуле:

,

которая равна площади под кривой .

Квадратичная оценка так же, как и линейная, учитывает величину и длительность отклонений. Однако, из-за возведения сигнала в квадрат, первые (большие) отклонения приобретают в конечном значении интеграла существенно больший вес, чем последующие (малые) отклонения. Поэтому минимальные значения оценки всегда соответствуют колебательным процессам с малым затуханием.

В расчетах также используют ИВКО.

Применяется и улучшенная квадратичная оценка, которая, кроме самих отклонений, учитывает с весовым коэффициентом производную отклонений.

Обычно весовой коэффициент выбирают равным желаемому времени нарастания или принимают в пределах

Апериодическая интегральная оценка

Рассмотрим ,

т.к. все величины постоянные. Здесь Т – постоянная времени, которая задается.

Е

сли выражение

,

то функция J примет минимальное значение. Это будет достигаться в том случае, если у – апериодический переходный процесс.

- оптимальный процесс с точки зрения апериодической интегральной оценки.

Следует отметить, что абсолютное значение любой интегральной оценки само по себе не представляет интереса. Они служат лишь для сопоставления различных вариантов настройки одной и той же системы.

Пример.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Рассмотрены три оценки качества (при ступенчатом воздействии).

При t_рег=min,

Точность систем

Назначение любой САУ – изменение выходной величины в соответствии с изменениями задающего воздействия. В большинстве случаев эта задача системы заключается в поддержании равенства при любых изменениях задающего и возмущающего воздействий.

При анализе точности различают две функции системы: воспроизведение задающего воздействия и подавление (компенсацию) возмущений.

Из-за инерционности объекта и регулятора обе эти функции выполняются любой реальной системой с погрешностью: в каждый момент времени после внешнего воздействия существует разность, характеризующая точность системы: