Косвенные методы оценки показателей качества сау

Прямые методы не всегда удобны для определения показателей качества, поэтому существуют косвенные методы определения показателей качества по косвенным признакам, не требующим построения переходного процесса. К косвенным методам относятся:

• Частотные методы;

• Корневые методы;

Корневые методы оценки показателей качества

Корневые методы для определения косвенной оценки показателя качества используют корни характеристического уравнения замкнутой системы и их расположения на комплексной плоскости.

Передаточная функция любой системы может быть представлена в следующем виде:

,

где _i – это нули передаточной функции; _i – полюса передаточной функции (корни характеристического уравнения).

_i определяет устойчивость системы и качество переходных процессов, _i определяет только качество переходных процессов.

Влияние полюсов передаточной функции на качество переходных процессов

Каждому полюсу _i на комплексной плоскости соответствует определенная точка. Данные корни определяют на плоскости следующую замкнутую плоскость.

В

корневых методах используют так называемыекорневые показатели, определяемые по расположению корней

р₁, р₂, …, р_п характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости.

1. Наиболее общим корневым показателем качества является среднее геометрическое значение модулей корней

,

которое легко вычисляется через крайние коэффициенты характеристического уравнения

. (*)

₀ определяет центр расположения всех корней характеристического уравнения и влияет на быстродействие системы. Чем меньше показатель ₀, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длительность переходного процесса.

В числитель подкоренного выражения (*) входит коэффициент , который зависит от передаточного коэффициентаразомкнутого контура:

Отсюда можно сделать вывод: чем выше коэффициент усиления k, тем лучше быстродействие системы (при прочих равных условиях – одинаковой конфигурации “созвездия” корней).

Основное влияние на характер переходного процесса оказывают корни, расположенные ближе к мнимой оси, которые дают наиболее длительные составляющие переходного процесса и называются доминирующими.

2) Расстояние от мнимой оси до действительной части ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости .

3) Колебательные свойства системы регулирования предопределяет k–ая пара комплексных корней , для которой наибольшее отношение

или наибольший угол  между действительной осью и лучами, соединяющими начало координат с этими корнями. В данном случае такой парой являются комплексные корни р₂ и р₃.

Отношение _д мнимой части  к действительной части  доминирующей пары комплексных корней называют степенью колебательности.

В практических расчетах чаще используют корневой показатель колебательности

,

также определяемый через доминирующую пару комплексных корней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значения .

Связь степени устойчивости с быстродействием системы

Степень устойчивости  характеризует в переходном процессе самую медленную составляющую, поэтому быстродействие (время переходного процесса) в значительной мере зависит от .

Допустим, что  определяет апериодическую составляющую переходного процесса (ближайший корень действительный). Будем считать, что установившееся время . Это означает, что весь переходный процесс

Здесь ∆ - это числовая характеристика, показывающая, во сколько раз изменилась величина С во времени (0;).

Для типовых систем ∆ задается (∆=0,05) и тогда время переходного процесса составляет

,

т.о. t_ПП в таких случаях будет определяться только степенью устойчивости t_ПП=f().

Если ближайший к мнимой части корень комплексный, то это определяет колебательную составляющую

Специальными математическими исследованиями установлено, что в системе любого порядка наиболее быстрый апериодический переходный процесс имеет место, когда все n корней равны между собой. Но максимальное быстродействие системы достигается при небольшой колебательности (). Для этого все комплексные корни (и один действительный приn нечётном) должны располагаться на одинаковом расстоянии от мнимой оси, а мнимые части должны образовывать арифметическую прогрессию с разностью. Причём, для каждого порядка уравнения существует оптимальное отношение:

2-ой порядок = 1

3-ий порядок = 1,45

4-ый порядок = 0,79

5-ый порядок = 1,5

Корневые показатели важны для понимания проблемы качества и устойчивости, но ещё чаще решают обратную задачу – определение коэффициентов уравнения и параметров системы, при которых все корни будут лежать в области с заданной степенью устойчивости или колебательности. Для этого используют D-разбиение, где вместо обычной замены в характеристическом уравнении делают подстановку.