- •Основы теории управления
- •Историческая справка
- •Основные понятия и определения тау
- •Структурные схемы
- •Пример типовой функциональной схемы сау
- •Детектирующие свойства элементов систем
- •Математическое описание сау
- •Уравнения динамики и статики
- •Линеаризация
- •Методология математического описания сау
- •Классификация сау
- •1. Классификация по характеру динамических процессов в системе
- •1.1. По виду сигналов, протекающих по контуру системы.
- •1.2. По виду дифференциальных уравнений.
- •1.3. По условиям функционирования.
- •2. Классификация по характеристикам управления
- •2.1. По принципу управления.
- •2.2. По режимам функционирования.
- •2.3. По свойствам системы в установившемся режиме.
- •3. Классификация сау по другим признакам
- •Основные (типовые) управляющие воздействия сау
- •Принцип суперпозиции для линейных систем
- •Временные характеристики сау
- •Переходные характеристики h(t) и (t) называют временными.
- •Передаточной функцией w(p) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:
- •Частотные динамические характеристики
- •Классификация звеньев. Типовые динамические звенья
- •Апериодическое звено
- •Существует так называемое неустойчивое апериодическое звено
- •Колебательное звено
- •Общие свойства статических звеньев
- •Интегрирующие звенья
- •Идеальное интегрирующее звено
- •Реальное интегрирующее звено
- •Общие свойства интегрирующих звеньев
- •Изодромное интегрирующее звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Структурные преобразования схем сау
- •Типовые элементы структурных схем сау
- •Многоконтурные структурные схемы
- •Некоторые правила структурных преобразований
- •Изображение структурных схем в виде графов
- •Векторно-матричная форма описания многомерных элементов
- •Способ описания вход-выход
- •В общем случае каждая входная переменная связана с каждой выходной переменной. Если взаимосвязи по всем каналам линейны (линеаризованы), то в общем случае элемент можно описать следующей системой:
- •Описание сау методом пространства состояния
- •Схемы переменных состояний (спс)
- •Метод прямого программирования (базовый)
- •Методы последовательного и параллельного программирования
- •Схемы переменных состояния типовых звеньев
- •Связь между описанием “вход-выход” и мпс
- •Матрица перехода. Аналитический способ получения матрицы перехода
- •Получение изображения матрицы перехода по схеме переменных состояния
- •Получение матрицы перехода разложением в ряд
- •Устойчивость систем сау
- •Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.Е. Если
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •Критерий Гурвица. Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением
- •Критерий Рауса.
- •Частотные критерии устойчивости
- •Принцип аргумента. Рассмотрим уравнение:
- •Критерий Михайлова Рассмотрим характеристическое уравнение системы
- •Критерий Найквиста
- •У замкнутой системы изменение аргумента при изменении частоты от 0 до :
- •Система неустойчивая.
- •Запас устойчивости Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица
- •Запас устойчивости при частотных критериях устойчивости
- •Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания
- •Влияние параметров на устойчивость системы.
- •Структурно устойчивые и структурно неустойчивые системы
- •Влияние структуры и передаточного коэффициента системы на устойчивость
- •Рассмотрим влияние передаточного коэффициентасистемы на устойчивость. Учтём, что для одноконтурных систем коэффициентkвходит в выражение для афчх как множитель:
- •Анализ качества сау
- •Основные (прямые) показатели качества сау
- •Прямые методы оценки качества (методы построения переходной характеристики)
- •Операторный метод:
- •2. Частотный метод.
- •Понятие обобщенной частотной передаточной функции
- •3. Моделирование с использованием вычислительных средств
- •Косвенные методы оценки показателей качества сау
- •Корневые методы оценки показателей качества
- •Смещенные уравнения
- •Влияние нулей передаточной функции на качество переходного процесса
- •Диаграмма Вышнеградского
- •Частотные методы Приближенное определение показателей качества по виду р() (Косвенный метод)
- •О тбрасываемая часть при частотах свышеПвлияет на начало переходной характеристикиh(t).
- •Построение вещественной частотной характеристики с использованием
- •Линейная интегральная оценка
- •Метод Кулебакина
- •Модульная интегральная оценка
- •Квадратичная интегральная оценка
- •Апериодическая интегральная оценка
- •Рассмотрим передаточную функцию типовой одноконтурной системы
- •Тогда ошибка будет зависеть только от задающего воздействия
- •Ошибки статических и астатических систем при типовых задающих воздействиях
- •Ошибка при возмущающем воздействии, не равном нулю
- •Основные понятия о синтезе систем управления
- •Особенности синтеза
- •Этапы синтеза сау
- •Т иповые законы регулирования линейных систем
- •Коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы, оптимальные по критерию ивмо.
- •Синтез систем методом лачх
- •Желаемая лачх
- •Построение желаемой лачх
- •Синтез последовательных корректирующих устройств
- •Алгоритм построения сау с последовательными корректирующими звеньями
- •Синтез сау с параллельными корректирующими устройствами
- •Модальный регулятор.
- •Управляемость и наблюдаемость.
- •Импульсные сау
- •М атематическое описание дискретной системы
- •Главное достоинство и удобство z-преобразования заключается в том, что сама запись z-изображения указывает простой способ выполнения прямого и обратного преобразования:
- •Свойства z-преобразования аналогичны свойствам обычного преобразования Лапласа. Приведем важнейшие из них.
- •Дискретная передаточная функция
- •Передаточная функция на основе разностных уравнений
- •Примеры типовых дискретно-непрерывных систем
- •Годографы вектора f(ejt) для устойчивой и неустойчивой системы второго порядка показаны на рисунке.
- •Описание дискретных систем в терминах пространства состояния
- •Метод прямого программирования
- •Метод переменного коэффициента усиления.
Критерий Михайлова Рассмотрим характеристическое уравнение системы
p=j - придаем чисто мнимое значение.
Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы суммарный угол поворота векторов р-рi составлял угол n.
В характеристическом уравнении заменяем р на j. Тогда получим функцию комплексного переменного:
которую можно так же, как амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей:
Действительная часть Re() содержит только четные степени переменного :
а мнимая часть Im()— только нечетные:
Действительная часть характеристического уравнения является функцией четной, а мнимая часть – нечетной.
Поэтому достаточно ограничиться построением кривой, соответствующей характеристическому полиному для положительных частот. Тогда кривая, соответствующая отрицательным частотам является зеркальным отражением кривой для положительных частот относительно оси абсцисс.
Каждому фиксированному значению переменного соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. Если теперь изменять параметр от 0 до , то конец вектора D(j) опишет некоторую линию, которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.
Формулировка критерия Михайлова
Автоматическая система управления, описываемая уравнением п-го порядка будет устойчивой, если при изменении частоты от 0 до характеристический вектор системы (годограф Михайлова) повернется против часовой стрелки на угол , не обращаясь при этом в нуль.
Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении от 0 до пройти последовательно через n квадрантов. Кривая D(j) для устойчивой системы всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину .
На рисунке а) изображен вектор D(j), называемый характеристической кривой или годографом Михайлова. Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам (рисунок б)), имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения. Если характеристическая кривая проходит п квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рисунок в)).
В практических расчетах удобно применять следствие из критерия Михайлова:
Система устойчива, если действительная и мнимая части характеристической функции D(j) обращаются в нуль поочередно (см. рисунок г)), т.е. если корни уравнений Re()=0 и Im()=0 перемежаются и Re(0) 0 и Im(0) 0.
Следствие из критерия Михайлова позволяет установить устойчивость системы невысокого порядка аналитически, без построения годографа.
Критерий Найквиста
Критерий Найквиста был сформулирован в 1932 г. американским физиком X. Найквистом. В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутойсистемы по амплитудно-фазовой характеристикеразомкнутогоконтура системы.
В этом заключается существенное преимущество критерия, т.к. построение АФХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев.
Имеется САУ:
здесь Dp(j) – частотное характеристическое уравнение разомкнутой системы.
Найквист в своем критерии рассматривает вспомогательную функцию, определяемую по формуле
Примечание: Возьмем абстрактное комплексное число
.
Модуль этого числа будет равен произведению модулей каждого из множителей, а аргумент этого числа – сумме каждого из слагаемых.
Причем
.
Рассмотрим два случая.
1. Система в разомкнутом состоянии устойчива, это значит по Михайлову:
,
где п – порядок разомкнутой системы.
Частотное характеристическое уравнение замкнутой системы также имеет порядок п, т.к. порядок числителя разомкнутой системы всегда меньше или равен порядку знаменателя разомкнутой системы ().
Если система в замкнутом состоянии тоже устойчива, то угол одинаковый
.
Рассмотрим изменения аргумента при изменении частоты от 0 до:
Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если изменение аргумента функции при изменении частоты от 0 до составит ноль. Это возможно только в том случае, когда годограф не охватывает точку начала координат (рис, а). Но если рассматривать годограф функции , то этому соответствует случай, когда не охватывается точка (-1; ј0) (рис б).
Критерий Найквиста для первого случая: замкнутая система будет устойчивой, если годограф разомкнутой системы не пересекает отрезок (-;-1], т.е. не охватывает критическую точку (-1;0).
Употребленное в формулировке критерия Найквиста понятие охвата точки имеет некоторую неопределенность, из-за чего в случаях сложной формы кривой W(јω) могут возникнуть затруднения в суждении об устойчивости системы. Поэтому для суждения об устойчивости систем, имеющих АФЧХ сложной конфигурации, когда кривая АФЧХ пересекает действительную ось левее точки с координатами (-1; ј0) несколько раз, можно также использовать правило переходов, сформулированное советским ученым Я. 3. Цыпкиным: АФЧХ не охватывает точку (-1; ј0), если при возрастании w разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФЧХ через ось абсцисс слева от точки (-1; ј 0) равна нулю.
На рисунке а) изображен годограф системы, устойчивой в замкнутом состоянии, а на б) – системы, находящейся на границе устойчивости.
Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы хотя бы один раз пересечет точку [-1;0].
2. Разомкнутая система неустойчива.
Разомкнутая система неустойчива, это значит, что изменение аргумента представляется формулой:
,
где m – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости.