Примеры типовых дискретно-непрерывных систем

1. Дискретная непрерывная система с экстраполятором

Передаточная функция экстраполятора имеет вид:

,

тогда дискретная передаточная функция всей системы записывается как

Применяя ко второму слагаемому теорему о смещении, можно записать данное уравнение в следующем виде:

Отсюда

.

2. Дискретная непрерывная система с ЭВМ.

1) Система разомкнута

2) Система с обратной связью

Устойчивость дискретных систем

Непрерывная система будет устойчива тогда, когда корни характеристического уравнения данной системы будут находиться в левой полуплоскости комплексной плоскости.

О

существляется переход из комплексной плоскостир в комплексную плоскость z, зная, что , гдеp=j, и используется принцип d-разбиения. В этом случае, если частота будет меняться , мнимая ось комплексной плоскостир преобразуется в окружность с единичным радиусом, с центром в начале координат на комплексной плоскости z.

Ч

тобы дискретная система была устойчивой, необходимо, чтобы корни характеристического уравнения были расположены внутри единичной окружности комплексной плоскостиz. Если хотя бы один кореньz_kрасполагается на окружности единичного радиуса, то система находится на границе устойчивости. Присистема неустойчива.

Характеристическое уравнение замкнутой дискретной системы имеет вид:

.

Алгебраический критерий Шур-Кона

Дано характеристическое уравнение

Данная система будет устойчива, когда определители Шур-Кона:

Билинейное преобразование

Введем новую переменную .

, тогда , где- относительная псевдочастота.

При малых частотах . Если(малые частоты), то, и при изменении частоты, то, и тогда в новой комплексной плоскости наша окружность выродится в прямую.

Для суждения об устойчивости импульсных систем можно использовать обычные критерии устойчивости линейных систем, но при этом приходится учитывать лишь некоторые особенности импульсных систем. Так, для того чтобы применить критерий Гурвица, необходимо предварительно в уравнении

произвести замену переменной z на переменную  путем подстановки

и получить преобразованное характеристическое уравнение

К

орням уравнения (*), расположенным в плоскости корней внутри единичного круга, теперь будут соответствовать корни преобразованного уравнения (***), находящиеся в плоскости корней_k слева от мнимой оси (см. рис.). Действительно, если , то модуль числителя в выражении (**) должен быть меньше модуля знаменателя, т.е.. А это возможно лишь в том случае, если вектор_k расположен в левой полуплоскости.

П

ри использованиикритерия Михайлова в характеристический полином F(z) подставляют , изменяют от 0 до /Т и в комплексной плоскости строят годограф вектора F(e^jT). Импульсная система устойчива, если при возрастании  от 0 до /Т характеристический вектор F(e^jT) повернется против часовой стрелки на угол п. Если годограф характеристического вектора проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

Годографы вектора f(ejt) для устойчивой и неустойчивой системы второго порядка показаны на рисунке.

К

ритерий Найквиста для импульсных систем формулируется также как и для непрерывных систем: система устойчива, если АФХ W(e^jT) устойчивого разомкнутого контура не охватывает точку (-1; j0).

Характеристики устойчивой импульс­ной системы и неустойчивой системы, нахо­дящейся на границе устойчивости, показаны штриховыми линиями на рисунке.

Устойчивость разомкнутого контура импульсной системы определяется устойчиво­стью ее непрерывной части: если последняя устойчива, то и весь контур (включая импульсный элемент) устойчив.