Главное достоинство и удобство z-преобразования заключается в том, что сама запись z-изображения указывает простой способ выполнения прямого и обратного преобразования:

1. чтобы по известной функции времени x(t) найти ее z-изображение, необходимо лишь каждое дискретное значение x(kT₀) умножить на z^-k, а затем свернуть получившийся степенной ряд в конечную сумму;

2. чтобы по известному изображению X(z) найти соответствующий сигнал x(t), необходимо представить изображение X(z) в виде степенного ряда по убывающим степеням z^-k, получающиеся при этом числовые коэффициенты ряда и есть дискретные значения x(kT₀) сигнала x(t).

Свойства z-преобразования аналогичны свойствам обычного преобразования Лапласа. Приведем важнейшие из них.

1. Линейность:

.

2. Теорема запаздывания:

.

3. Теорема упреждения:

.

4. Изменение масштаба по переменной z:

.

5. Теорема о начальном значении оригинала:

.

6. Теорема о конечном значении оригинала:

.

Дискретная передаточная функция

Введем понятие типовой импульсной цепи, в которую входит идеальный импульсный элемент («ключ») и непрерывная часть с передаточной функцией W_н(р). Передаточные свойства такой импульсной цепи можно характеризовать с помощью дискретной передаточной функции

,

где X(z) и Y(z) – z-изображения входного и выходного сигналов цепи.

Дискретная передаточная функция связана с импульсной переходной характеристикой системы (весовой функцией).

В

ходной сигнал можно записать в следующем виде:

Подставим вместо t=nT₀:

,

применим прямое преобразование Лапласа:

.

Подставим в выражение для у^*(р) вместо y(nT₀) его значение и получим

.

Введем переменную q=n-k и разнесем полученные суммы

,

т.о. данную сумму можно переписать как

,

а передаточная функция будет иметь вид:

.

Перейдем от , для этого введем. Т.о. получим передаточную функцию вz-терминах:

,

или, иначе говоря, передаточная функция в z-терминах получается в результате прямого z-преобразования от qT₀.

.

Приближенный способ перехода от непрерывной системы к дискретной обеспечивает подстановка Тастина:

.

Существуют следующие способы получения функции в z-терминах:

1. через весовую функцию;

2. с помощью таблиц z-преобразований;

3. на основе разностных уравнений.

Пример: Построить дискретную передаточную функцию апериодического звена без

экстраполятора на входе.

Если передаточная функция W(p) представляет собой достаточно сложную функцию, то предварительно ее следует разложить на простые дроби. Далее к каждому из слагаемых применяется прямое преобразование Лапласа.

Передаточная функция на основе разностных уравнений

Применяется только для линейных стационарных систем с сосредоточенными параметрами.

Применяя теорему о сдвиге, можно исходное уравнение записать в следующем виде:

Свойства дискретной передаточной функции

1. Статические системы.

, гдеk – коэффициент усиления.

2. Астатические системы.

Это системы, у которых в структуре есть хотя бы одно интегрирующее звено.

Скорость изменения в установившемся режиме будет определяться следующим выражением:

3. Система, содержащая звено чистого запаздывания.

тогда .

Для дискретных систем является важным понятие реализуемости.

4. Правило реализуемости.

а)

Наличие zⁱ нарушает принцип причинности, что означает, что y(j) на j-ом шаге будет зависеть от u(i+j).

Для этого важно выполнение условия: т  п, и если а_i0, то b_i0.

б)

Передаточные функции различных соединений звеньев

1

.

2

.

3

.