Математическое описание сау

Глубокий анализ процессов, происходящих в системах, и эффективное решение задач расчета и проектирования САУ возможны лишь с применением языка и методов математики. Причём, первым этапом при исследовании или конструировании САУ является составление математического описания (математической модели) её элементов и системы в целом.

Составление математического описания состоит из следующих последовательных процедур:

• Принятия исходных допущений

• Выбор выходных и входных переменных

• Выбор систем отсчёта для каждой переменной

• Применение физического принципа, отражающего в математической форме закономерности преобразования энергии или вещества.

Наиболее распространённой формой описания передаточных свойств системы являются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Уравнения динамики и статики

В общем случае звенья и системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями произвольного порядка.

Звено можно описать дифференциальным уравнением второго порядка

где

y – выходная величина,

u, z- входные величины,

- первые производные по времени,

- вторая производная по времени.

Это уравнение, описывающее процессы в звене при произвольных входных воздействиях, называется уравнением динамики.

Пусть при постоянных входных величинах u=u⁰ и z=z⁰ процесс в звене с течением времени установится: выходная величина y=y⁰. Тогда уравнение примет вид

Это уравнение описывает статический (установившийся) режим, его называют уравнением статики.

Статический режим можно описать графически.

Статическая характеристика – это зависимость выходной величины от входной в статическом режиме (воздействие u и возмущение z постоянны во времени, тогда управляемая величина Y = f(U,Z)).

Линеаризация

Во многих случаях нелинейные дифференциальные уравнения можно линеаризовать, т.е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приблизительно описывающими процессы в системе.

Линеаризацию гладких статических характеристик можно осуществить либо по методу касательной, либо по методу секущей.

Пусть дана нелинейная характеристика:

y

Y₀

x

X₀

Исходную нелинейную зависимость можно разложить в ряд Тейлора в окрестностях точки установившегося режима, и, отбросив члены ряда выше первого порядка, получить следующую приближенную зависимость:

,

где - значение производной функциипоx при подстановке в выражение этой производной x = x₀.

При расчете автоматических систем удобно линейные статические характеристики рассматривать в отклонениях переменных y и x от их значений y₀ и x₀.

Тогда это уравнение можно переписать в таком окончательном виде:

Произведенная линеаризация (методом касательных) имеет простую графическую интерпретацию: действительная нелинейная характеристика заменяется касательной к ней в точке, соответствующей установившемуся режиму. Коэффициент к равен тангенсу угла наклона этой касательной относительно оси абсцисс.

В более общем случае звено описывается нелинейным уравнением, включающим производные по времени от входных и выходных величин:

После разложения нелинейной функции в левой части уравнения в ряд Тейлора в точке установившегося режима, получим следующее линейное дифференциальное уравнение для приращений переменных:

Линеаризации применяется только для малых отклонений, то есть полученные в результате линеаризации уравнения пригодны для приближенного исследования только таких режимов в системах, при которых переменные величины на входе звеньев претерпевают достаточно малые отклонения от установившихся значений. Во-вторых, линеаризация применима только к непрерывно дифференцируемым нелинейностям.