§ 102. Поняття про квантову механіку. Співвідношення неозначеностей

Відкриття хвильових властивостей рухомих частинок речовини є важливим досягненням сучасної фізики. Разом з твердо установленим експериментально квантовим ха­рактером законів, які описують внутріатомні процеси, від­криття хвильових властивостей частинок речовини послу­жило фундаментом для створення квантової механіки — розділу сучасної теоретичної фізики, яка вивчає закони руху частинок в мікросвіті — в масштабах довжини

З точки зору класичної механіки кожна частинка рухається певною траєкторією, і потік частинок не може виявляти явищ дифракції й інтерференції, властивих хвильовому процесу. Оскільки досліди показують, що пучки електронів, нейтронів та інших частинок речовини зазна­ють дифракції й інтерференції, то виявляється неможли­вим описувати властивості частинок за допомогою рівнянь класичної механіки. Теорія, яка б пояснювала усі власти­вості частинок, має враховувати і їх хвильові властивості. В класичній механіці, якщо задане початкове положення (тобто початкові координати) і початкова швидкість тіла, то за другим законом Ньютона можна визначити поло­ження і швидкість тіла (частинки) в будь-який наступний момент часу. При цьому вважають, що початкові коорди­нати і швидкості тіл (частинок) можна задати з будь-яким ступенем точності, який залежить лише від якості приладів, за допомогою яких вимірюють координати і швидкості.

Але стан тіла (частинки) в квантовій механіці має зада­ватися інакше, ніж в класичній. У квантовій механіці має сенс говорити лише про ймовірність знаходження частин­ки в даний момент часу в даній точці простору, а точніше, в деякому нескінченно малому об'ємі ДК. Квантовий опис стану частинки вважає максимально повним описом стану задання ймовірності того, що частинка перебуває в мо­мент часу t у нескінченно малому об'ємі AV. Ця ймовір­ність, як ми вже знаємо, визначається квадратом модуля амплітуди хвиль де Бройля. Амплітуда хвилі де Бройля \J>, яку називають також хвильовою функцією, залежить від просторових координат х, у, г і (в загальному випадку) від часу t. Величина |\J>|² визначає ймовірність перебуван­ня частинки'в даній точці простору. Інакше кажучи, вели­чиною )ф|² визначається інтенсивність хвиль де Бройля. Математичний апарат квантової механіки різко відріз­няється від апарату класичної механіки. Замість прямого визначення динамічних змінних х, у, z, р_х, р_у і р_г як функцій часу t, квантова механіка знаходить функцію \f< яка є основною характеристикою стану частинок.

Виникає запитання: як визначити хвильову функцію для частинки, що рухається під дією заданих сил? Хви­льову функцію можна одержати шляхом розв'язання запропонованого в 1926 р. німецьким фізиком Е. Шредін-гером диференціального рівняння на основі аналізу анало­гій, які мають місце в механіці й оптиці. Рівняння Шре-дінгера в основним рівнянням квантової механіки. Подіб-

но до того як у класичній механіці за допомогою другого закону Ньютона розв'язуються задачі на рух макроско­пічних тіл, у квантовій механіці за допомогою рівняння Шредінгера розв'язуються задачі на рух мікрооб'єктів. Як закони динаміки Ньютона не можна одержати теоре­тично — вони є узагальненням великої кількості дослід­них фактів, так і рівняння Шредінгера теж не можна вивести з якихось відомих раніше співвідношень. Його слід розглядати як вихідне основне припущення, справедли­вість якого доводиться тим, що всі наслідки з нього надзвичайно точно узгоджуються з дослідними фактами.

Квантова механіка має статистичний характер. Вона не дає можливості визначити місцезнаходження частинки в просторі чи траєкторію, якою вона рухається. За допо­могою хвильової функції можна лише передбачити, з якою ймовірністю частинку можна виявити у різних точках простору.

На перший погляд може здатися, що квантова механіка дає набагато меншу точність і вичерпність опису руху частинки, ніж класична механіка, яка визначає «точно» місцезнаходження і швидкість частинки в кожен момент часу. Однак насправді це не так. Квантова механіка значно глибше описує справжню поведінку мікрочастинок. Вона не визначає лише того, чого немає в дійсності. В застосуван­ні до мікрочастинок поняття певного місцезнаходження і траєкторії взагалі втрачають сенс. Рух певною траєк­торією несумісний з хвильовими властивостями, що стає очевидним, коли проаналізувати суть дослідів з дифракції.

За певних умов поняття положення в просторі і траєк­торії виявляються наближено застосовними до руху мікро­частинок, подібно до того як виявляється справедливим закон прямолінійного поширення світла. Ступінь точності, з якою до частинки можна застосувати уявлення про певне положення її в просторі, дається співвідношенням неозначеностей, установленим у 1927р. німецьким фізиком В. Гейзенбергом. Згідно з цим співвідношенням частинка не може мати одночасно цілком точних зна­чень, наприклад, координати х і відповідної цій координаті складової імпульсу р_х, причому неозначеності в значеннях цих величин задовольняють умові

Такий запис означає, що добуток неозначеностей коор­динати і відповідного їм імпульсу не може бути меншим за величину порядку h. Чим точніше визначена одна

(102.1)

з величин, х чи р«, тим більшою стає неозначеність другої. Можливі стани частинки, при яких одна з величин має цілком точне значення, але тоді друга величина буде зовсім неозначеною.

Співвідношення, аналогічні до умови (102.1), справед­ливі для будь-якої координати і відповідного їй імпульсу, а також для інших величин, наприклад, для часу і енер­гії мікрочастинки:

Щоб пояснити співвідношення неозначеностей, розгля­немо такий приклад. Для визначення положення мікро­частинки, яка вільно летить, поставимо на її шляху щілину шириною Дх, перпендикулярно до напряму руху частинки (мал. 212). До проходження частинки через щілину її складова імпульсу р_х має точне значення, що до­рівнює нулю (щілина за умовою перпендикулярна до ім­пульсу, так що Дрх = 0, але координата х частинки в зовсім неозначеною). В момент проходження частинки через щілину положення змінюється. Замість повної неозна­ченості координати х виникає неозначеність Ддг, але це досягається ціною втрати означеності значення р_х. Справді, внаслідок дифракції є певна ймовірність того, що частинка рухатиметься в межах кута 2ф, де if — кут, який відпові­дає першому дифракційному мінімуму (максимумами вищих порядків можна нехтувати, оскільки їх інтен­сивність мала порівняно з інтенсивністю центрального максимуму). Таким чином, виникає неозначеність:

(102.2)

Положення першого дифракційного мінімуму на екрані визначається тим, що різниця ходу хвиль, які дифрагують від верхнього і нижнього країв щілини, повинна дорівнювати довжині хвилі: Лдг-зіп ((=>.. (102.3)

Перемноживши почленно ліві й праві частини формул (102.2) і (102.3), діста­немо:

тобто одне із співвідношень неозначе­ності Гейзенберга.

Співвідношення неозначеності спра­ведливе для тіл будь-якої маси, в тому

числі і для макроскопічних тіл. Однак обмеження для можливості застосування понять координати й імпульсу в їх класичному смислі, зв'язані із співвідношеннями неозначеності, проявляються лише в тих випадках, коли істотну роль відіграє подвійна, корпускулярно-хвильова природа об'єктів, які вивчаються. В тих випадках, коли довжина хвилі де Бройля стає мізерно малою, неістотними стають і ті обмеження, які вносяться співвідношеннями неозначеності у можливості опису руху частинок за допо­могою класичних понять координати і швидкості (або імпульсу).

Пояснимо це на таких прикладах.

Нехай пучок електронів рухається вздовж осі х зі швид­кістю v_x= 10^ь м/с. Припустимо, що ця швидкість визна­чається нами з точністю до 0,01 % (Ді>*= 10² м/с). З якою точністю можна визначити координату електрона? За умо­вою (102.1) маємо

тобто положення електрона можна визначити з точністю до тисячних* часток міліметра. При розгляді обмеженої ділянки шляху електронів така точність у визначенні коор­динати, безперечно, достатня, щоб можна було говорити про певну траєкторію, тобто розглядати електрони як кор­пускули.

Нехай тепер електрон рухається в атомі водню зі швид­кістю v= 2,2-10⁶ м/с. Те, що електрон рухається в атомі, дає можливість визначити його координату з точністю до атомних розмірів (10~'⁽⁾ м). Отже, Ах«10~^І(І м. Згідно а умовою (102.1), неозначеність у швидкості електрона дорівнюватиме 7,1 • 10" м/с, тобто похибка у визначенні швидкості буде більшою за саму швидкість. Звичайно, в цьому випадку розглядати електрон як частинку в ме­ханічному смислі не можна. Не можна зберегти і уяв­лення про орбіту, по якій з певною швидкістю рухається електрон.

Візьмемо тепер для прикладу звичайну макрочастинку, наприклад, пилинку з масою в 10~^Івкг. Припустимо, що її положення визначено з точністю до мікрона, тобто до 10~° м; тоді неточність у визначенні швидкості становити­ме 10~⁹ м/с, тобто швидкість такої частинки може бути визначена практично з яким завгодно ступенем точності. Цей приклад показує, що макроскопічні частинки, навіть дуже маленькі, ведуть себе як механічні частинки.

Хвильові властивості, притаманні речовині, при цьому не проявляються.

Співвідношення неозначеностей Гейзенберга іноді по­милково зв'язують з сучасним рівнем розвитку квантової теорії. Нерідко зустрічаються твердження, ніби ці співвід­ношення не є обмеженнями в можливості застосування до частинок мікросвіту класичних понять про координати й імпульси, а лише обмежують той ступінь точності, з яким на даному рівні розвитку фізичного експерименту і теорії можна одночасно виміряти координати й імпульси. Це означає, що при подальшому розвитку квантової фізики може нібито виникнути можливість більш точного одно­часного визначення координат і імпульсів. Ці міркування помилкові. Співвідношення неозначеностей б наслідком об'єктивно існуючої двоїстості частинок мікросвіту — наявності в них корпускулярних і хвильових властивостей, Ці співвідношення свідчать про об'єктивно існуючі обмеження в можливості опису поведінки мікрооб'єктів за допомогою класичних понять координат йімпульсів.