§ 81. Роздільна здатність оптичних приладів

Під час створення оптичних приладів, які «озброюють око», природно виникає питання про їх граничні можли­вості. Для мікроскопа і телескопа, наприклад, такою ха­рактеристикою є їх збільшення. З формул (80.6) і (80.9) випливає, що відповідним вибором фокусних відстаней збільшення мікроскопа і телескопа можна зробити як завгодно великим. Однак в дійсності це не так, і причина цьому — хвильові властивості світла. Явище дифракції світла встановлює певну межу допустимого збільшення приладу і при перевищенні цієї межі зображення став розмитим і нечітким.

Досі ми вважали, що зображенням світної точки в оп­тичному приладі (наприклад, у лінзі) є також точка. Однак це неправильно, навіть якщо усунуто всі аберації. Об'єктив будь-якого оптичного приладу обов'язково має вхідний отвір. Дифракція світла на вхідному отворі об'єктива неминуче веде до того, що зображення окремих точок

спостережуваного предмета (самосвітного чи освітлювано­го) виявляються вже не точками, а світлими дисками, ото­ченими темними і світлими кільцями. Якщо розглядувані точки (деталі) предмета лежать близько одна від одної, то їх дифракційні зображення (у фокальній площині об'єк­тива) можуть більше чи менше перекриватися.

Щоб кількісно охарактеризувати роздільну здатність об'єктива оптичного приладу, скористаємося так званим критерієм Релея: зображення двох точок буде видно роздільно, якщо головний максимум одного із зображень розташований не ближче першого мінімуму другого. Ми вже знаємо, що кут між головним максимумом і першим мінімумом освітленості після проходження пучка проме­нів через отвір (лінзу) визначається з умови:

sina = -~,

де к — довжина світлової хвилі, D — діаметр лінзи. Тоді умова Релея запишеться так:

sin<p>sina = ~. (81.1)

Оскільки діаметр лінзи завжди набагато більший за дов­жину світлової хвилі, то кути ф і а дуже малі, і можна си­нус замінити радіанною мірою кута:

Ф^алф (81.2)

Більш точний розрахунок для круглого отвору, який ми не приводимо, дає значення:

sin a =1,22^-. Тоді умова розділення двох зір телескопом буде:

<р>1,22А-, (81.3)

де X і D вимірюються в однакових одиницях, ер — в ра­діанах.

Формула (81.3) визначає мінімальну кутову відстань, при якій дві точки (зорі) можна бачити роздільно. Таким чином, роздільна здатність телескопа тим вища, чим біль­ший діаметр його об'єктива. Більший діаметр об'єктива дає можливість також зібрати як можна більше світла, яке доходить від предмета.

Однак наявність об'єктива великого діаметра ще не означає, що ми побачимо ці точки. Ми доб'ємося цього, якщо фокусна відстань об'єктива і окуляра підібрані так,

щоб, згідно з формулою збільшення телескопа у= ^tgg' =

tga

-= ^ збільшити кут а до зна-

чення at, яке відповідає роз­дільній здатності ока чи ін­шого реєструючого пристрою. Подальше збільшення може зробити зображення дуже великим, однак число різних точок на одиниці поверхні від цього не стане більшим.

Найбільший у світі телескоп обсерваторії Російської Академії наук має діаметр об'єктива D= 6 м. Підставивши у формулу (81.3) значення довжини видимого світла Я= 650 нм, знайдемо його роздільну здатність ass 13,2 X X Ю ~⁸ рад. Неважко підрахувати, що цей телескоп дає можливість розрізнити на Місяці дві точки, найменша відстань між якими становить ~ 50,7 м (відстань до Мі­сяця г= 384 400 км). Але й цього не досить, щоб розріз­нити деталі навіть на найближчій до нас зорі.

Виведена для телескопа умова розділення зберігається і для земних зорових труб під час розгляду далеких пред­метів, а також для фотоапаратів при фотографуванні від­далених предметів. Якщо предмет перебуває близько від об'єктива, то не можна вважати, що від нього на об'єктив падає паралельний пучок променів; при цьому врахування ролі дифракції під час утворення зображення буде склад­нішим. Саме такий випадок близького розміщення спосте­режуваного предмета до об'єктива маємо для мікроскопа.

Роздільну здатність мікроскопа прийнято характеризу­вати не мінімальним кутом, а відстанню у між двома найближчими точками, які ще видно роздільно. Точна дифракційна теорія дії мікроскопа (так звана теорія Аббе), в якій процес утворення зображення розглядається як результат вторинної інтерференції дифракційних спектрів, досить складна і тут не може бути розглянута, однак на­ближено можна міркувати так.

Нехай дві точки М і N, відстань між якими є, розташо­вані поблизу фокальної площини об'єктива (мал. 188). їх зображення Мі і N\ буде видно, якщо виконується умова (81.2). Позначивши відстань від предмета до лінзи MC=d_y можна записати:

K = dtg<p«dsin<^X-|-. (81.4)

Кут LMC = а, під яким у точці М видно радіус лін­зи, називають апертурним кутом. Як видно з малюнка,

-— = tg а, де /? — радіус лінзи. Підставивши значення -т-у формулу (81.4), дістанемо:

Точне, а не наближене врахування ролі дифракції в мікроскопі показує, що в знаменнику має стояти не тан­генс, а синус апертурного кута:

е>5~^. (81.6)

2 sin a '

В якісних сучасних мікроскопах предмет розміщується поблизу фокальної площини об'єктива, тобто dzzf— 2 мм, радіус об'єктива Л«2—Змм. У цьому випадку sin a ж л:0,9; отже, в мікроскопі можна розрізнити деталі розмі­ром близько иівхвилі. У випадку візуальних спостережень, довжина хвилі /. відноситься до видимої частини спектра, тобто становить величину порядку 500 нм; отже, оптичний мікроскоп дає можливість розрізняти об'єкти, які розмі­щені один від одного на відстані порядку 3«1О~~⁵см.

Подальшим удосконаленням мікроскопа стало застосу­вання імерсії об'єктива. Вона полягає в тому, що між предметом і об'єктивом поміщається краплина рідини, показник заломлення якої близький до показника залом­лення скла. Наприклад, гліцерину (п = 1,45), кедрової олії (п— 1,51) або монобромнафталіну (л = 1,66). В імерсій­ному об'єктиві світло від предмета до об'єктива проходить оптично однорідним середовищем і не зазнає відбивання. Це значно підвищує освітленість зображення, що має істотне значення для мікроскопа із великим збільшенням. Крім того, для імерсійного об'єктива довжина хвилі л„ світ­ла, яке падає на об'єктив, дорівнює: /.„ = —, де л — довжина хвилі в повітрі. Підставивши це значення у формулу для межі роздільної здатності мікроскопа (81.6), дістанемо:

2 sin a 2n sin a

У випадку використання кедрової олії (п = 1,5) sin a« »0,9 дістанемо є ^0,37л. Око найбільш чутливе до світла з ?v= 555 нм, отже, є % 200 нм. Оскільки жива клітина має розміри понад 1000 нм, то її можна вивчати в оптичний мікроскоп. Вірусів розмірами від 275 нм до 10 нм в оптич­ному мікроскопі вже не видно.

Дальше підвищення роздільної здатності оптичного мікроскопа може бути досягнуте лише зменшенням дов­жини хвилі світла, за допомогою якого ведеться дослі-

дження, наприклад, шляхом застосування ультрафіолето­вого випромінювання і фотографування спостережуваних об'єктів.

Крім звичайних оптичних мікроскопів, існують елект­ронні мікроскопи, в яких роздільна здатність набагато більша. За їх допомогою можна розглядати навіть окремі молекули.

КОРОТКІ ПІДСУМКИ И ВИСНОВКИ

1. Світло має електромагнітну природу. Йому прита­ манні усі властивості електромагнітних хвиль. Швидкість світла у вакуумі дорівнює приблизно 300 000 км/с. В усіх середовищах швидкість світла менша, ніж у вакуумі.

2. Світлові хвилі з однаковою довжиною хвиль, що мають сталу різницю фаз, називаються когерентними. Під час накладання когерентних хвиль спостерігається інтерференція світла. Хвилі підсилюють або послаблюють одна одну залежно від різниці ходу між ними. Когерентні хвилі утворюються внаслідок відбивання світлових хвиль від двох поверхонь тонкої плівки. Оскільки різниця фаз коливань інтерферуючих хвиль залежить не тільки від товщини плівки, а й від довжини хвилі, то під час освіт­ лення плівки білим світлом утворюється кольорова інтер­ ференційна картина.

3. Під час прозсадження світла через вузькі отвори в непрозорих екраваж або коли світло падає на вузькі непрозорі предмети, спостерігається обгинання світлом непрозорих тіл — дифракція світла. Характерну диф­ ракційну картину у вигляді правильного чергування максимумів інтенсивності світла дістають за допомогою дифракційних решіток.

За допомогою дифракційних решіток найбільш точно визначають довжини світлових хвиль.

4. Відбивання світлових хвиль та інші закономірності їх поширення можна пояснити на основі принципу Гюй- генса: кожна точка поверхні, якої досягла в даний момент світлова хвиля, є точковим джерелом вторинних хвиль. Поверхня, дотична до всіх вторинних хвиль, є хвильовою поверхнею в наступний момент часу.

Пояснення дифракційних явищ дасться на основі прин­ципу Гюйгенса — Френеля: кожну точку фронту хвилі можна прийняти за джерело вторинних хвиль, причому ці вторинні хвилі — когерентні і за перешкодою можуть інтерферувати. Накладання протифазних вторинних хвиль приводить до гасіння коливань в області тіні,

накладання хвиль з однаковими фазами спричиняє коли­вання навіть у тих точках простору, що не лежать на шля­ху поширення первинної хвилі, яка падає на перешкоду.

5. Явище поляризації світла свідчить про те, що світло­ ві хвилі є поширенням поперечних електромагнітних коливань. Природне світло містить коливання, площини яких рівномірно розподілені у всіх можливих напрямах.

6. Біле світло складається із світла різних кольорів (частот або довжин хвиль). Залежність показника залом­ лення світла від частоти коливань (або довжини хвиль) — дисперсія — свідчить про те, що світлові хвилі різної частоти поширюються в речовині з різними швидкостями: з найбільшою швидкістю поширюються хвилі, які спри­ ймаються як червоне світло, і з найменшою — хвилі, які людина сприймає як фіолетове світло.

7. Спектральний склад випромінювання різних речо­ вин вивчають за допомогою спектральних апаратів — спектроскопів, спектрографів тощо, основною частиною яких є призма або дифракційна решітка для розкладання складного світла в спектр.

Неперервний (суцільний) спектр випромінюють розжа­рені тверді і рідкі тіла, а також великої густини гази. Лінійчасті спектри випромінюють всі речовини в газо­подібному атомному (не молекулярному) стані. Кожен хімічний елемент випромінює лише йому властивий ліній­частий спектр. Пара чи гази поглинають випромінювання лише тих довжин хвиль, яке вони самі можуть випро­мінювати. Хімічний склад речовини можна визначити за його лінійчастим спектром випромінювання або за спектром поглинання.

8. Джерело білого світла, крім електромагнітних хвиль видимої частини спектра, випромінює також невидимі інфрачервоні і ультрафіолетові промені. Інфрачервоні промені відзначаються яскраво вираженою тепловою дією, а ультрафіолетові — хімічною і фізіологічною.

9. Усі види випромінювання: радіохвилі, видиме світло, інфрачервоні, ультрафіолетові, рентгенівські і гамма-промені мають єдину електромагнітну природу, поширюються з швидкістю світла. їх властивості за­ лежать від довжини хвилі (частоти).

10. В геометричній оптиці розглядаються явища, зв'я­ зані з поширенням світла в прозорих середовищах і утво­ ренням зображень в оптичних приладах. Для пояснення цих явищ використовують поняття світлового променя як лінії, яка вказує напрям поширення енергії світла, і світної точки.

252

11. Основними законами геометричної оптики є експе­ риментально установлені закони: прямолінійного поши­ рення, відбивання й заломлення світла.

12. В однорідному середовищі світло поширюється прямолінійно.

Під час відбивання світла промінь падаючий, промінь відбитий і перпендикуляр до межі розділення двох сере­довищ, проведений до точки падіння променя, лежать в одній площині і кут відбивання дорівнює кутові падіння, тобто а= р\

Закон заломлення світла: падаючий промінь, заломле­ний промінь і перпендикуляр до межі розділення двох середовищ, проведений в точку падіння променя, лежать в одній площині і відношення синуса кута падіння а до синуса кута заломлення р" є величина стала для двох

даних середовищ: ^Ц;= п. Показник заломлення дорівнює

81П р

відношенню швидкостей поширення світла в середовищах, на межі яких відбувається заломлення.

13. Під час проходження світла з оптично більш густо­ го середовища в середовище менш густе, можливе повне відбивання світла. Воно відбувається тоді, коли кут падін­ ня а перевищує граничний кут а_г, який визначається

умовою sin а_г= —.

14. Для характеристики оптичних властивостей сферич­ них дзеркал і лінз введено поняття: головний і побічний фокуси, головна і побічна оптичні осі, оптична сила.

15. Сферичні дзеркала є добре відполірованими по­ верхнями кульового сегмента. Увігнуте дзеркало — кульо­ вий сегмент з дзеркальною внутрішньою поверхнею, опукле — з дзеркальною зовнішньою поверхнею. Формула дзеркала зв'язує його фокусну відстань F з відстанню від дзеркала до зображення. Для увігнутого сферичного дзер­ кала формула має вигляд 'т''Ь'7" —"Т"* Д^лл опуклого сфе­ ричного дзеркала формула має такий самий вигляд, якщо відстань до зображення вважати від'ємною, тобто /<0. З формули дзеркала випливає, що в цьому випадку і F<0. Якщо брати всі величини за модулем, то формула опук­ лого дзеркала набуде такого вигляду: — т ⁼ ~5''

fur

16. Широке застосування мають лінзи — прозорі тіла, обмежені сферичними поверхнями. Розрізняють збирні лінзи і розсівні. Відстань d від предмета до лінзи, відстань / від зображення до лінзи і фокусна відстань F лінзи

268

зв'язані таким співвідношенням: —г + -г ⁼ ^'« Для розсів-

а f г

ної лінзи значення фокусної відстані в розрахунках треба брати із знаком «мінус», оскільки зображення предмета дістаємо уявним, відстань / до зображення завжди повин­на бути із знаком «мінус».

17. Величина, обернена до фокусної відстані F, нази-

вається оптичною силою лінзи чи дзеркала: £> = —.

г

Залежно від положення предмета відносно лінзи чи дзеркала лінійні розміри зображення змінюються. Відно­шення лінійних розмірів Я зображення до лінійних розмі­рів h предмета називається лінійним збільшенням Г:

18. На законах геометричної оптики грунтується будо­ ва і дія багатьох оптичних приладів — фотоапарата, про­ екційного апарата, мікроскопа і телескопа. Ці закони да­ ють можливість зрозуміти дію ока як оптичної системи.

19. Роздільна здатність оптичних приладів, тобто їх здатність давати роздільні зображення дрібних, близько розташованих одна біля одної деталей (точок) предмета обумовлюється дифракцією світла на вхідному отворі об'єктива приладу.

20. Основні фотометричні величини (світловий потік, сила світла і освітленість) оцінюють за зоровим відчуттям. Це пов'язано з тим, що наше око сприймає світлові хвилі лише в діапазоні від 380 до 760 нм і його спектральна чутливість у цьому діапазоні різна.

Найважливішою фотометричною величиною є світло­вий потік — величина, що вимірюється відношенням світ­лової енергії (оцінюваної за зоровим враженням) до часу,

за який вона проходить через задану поверхню: ф = —.

Величина, вимірювана відношенням світлового потоку до тілесного кута, у якому в заданому напрямі поширює-

ться цей потік, називається силою світла джерела: / = ттг-

Освітленістю поверхні називається величина, що дорів­нює відношенню світлового потоку, який падає на поверх-

ню, до площі освітлюваної поверхні: Е= ——.

21. Освітленість поверхні залежить від сили світла джерела, кута падіння світлових променів і відстані між

джерелом і освітлюваною поверхнею: Е = —р сов а. 264

Розділ V. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ

Фізичні явища відбуваються у просторі й часі, і завдан­ня фізики полягає в тому, щоб установити закономірності перебігу цих явищ, тобто описати зміни, які відбуваються з матеріальними об'єктами,— тілами і фізичними поля­ми — в різних точках простору в послідовні моменти часу. В курсі механіки 9-го класу ви ознайомилися з основ­ними уявленнями про властивості простору й часу, вироб­леними людством на основі багатовікового досвіду повсяк­денного життя. В механіці припускалося, що простір і час незалежні одне від одного; що властивості простору, не впливають на рухомі тіла; що простір необмежений, однорідний, евклідовий тощо; що час тече незалежно від наявності й руху матеріальних тіл; що йде час лише від минулого до майбутнього; що різні моменти часу не можна відрізнити один від одного і т. д.

Розвиток електродинаміки і оптики несподівано істотно вплинув на наші уявлення про рух. Дослідження явищ при великих швидкостях, близьких до швидкості світла, показали незастосовність до них законів класичної меха­ніки, і на початку XX століття була створена теорія руху тіл з великими швидкостями — теорія відносності.