§ 83. Релятивістський закон додавання швидкостей

Легко бачити, що класичний закон додавання швид­костей суперечить другому постулату Ейнштейна про постійність швидкості світла у вакуумі. Якщо літак рухає­ться з швидкістю v і в літаку в напрямі його руху поши­рюється світлова хвиля, то її швидкість відносно Землі згідно з другим постулатом має бути с, а не c-f v, як ви­пливає з класичного закону додавання швидкостей. Оче­видно, цей закон непридатний для великих швидкостей. Ейнштейн показав, що з постулатів теорії відносності випливає новий закон додавання швидкостей, так зва­ний релятивістськкй закон. Запишемо цей закон (без доведення) для часткового випадку, коли тіло рухається вздовж осі х' системи S' з швидкістю и, а ця система, у свою чергу, з швидкістю v рухається відносно систе­ми S, причому осі х і х' весь час збігаються (мал. 189). Швидкість тіла відносно системи S дорівнюватиме:

(83.1)

Проаналізуємо цю формулу на кон­кретних прикладах. Нехай назустріч один одному летять два космічні кораблі кожен зі швидкістю 8 км/с (відносно Землі), тобто и= v= 8 км/с. Яка швидкість одного корабля віднос­но другого? Класичний закон додаван­ня швидкостей дає просту відповідь: w = u + v= 16 км/с. Обчислення зна­чення w за формулою (83.1) дає ш% 15,9999999885 км/с, що мізерно

мало відрізняється від попереднього результату. Наявні вимірювальні прилади не дають змоги виявити цю різни­цю. Це означає, що при додаванні двох швидкостей по 8 км/с обидва закони дають результати, які практично збігаються.

Розглянемо тепер додавання більших швидкостей. Не­хай у космічному просторі назустріч одна одній рухаються з швидкістю 300 км/с (відносно Сонця) дві частинки. З точ­ки зору класичної механіки швидкість однієї частинки відносно другої буде ш= 600 км/с. За формулою (83.1) їх відносна швидкість буде дорівнювати 599,9994 км/с. Як бачимо, навіть при таких величезних з точки зору повсякденного життя швидкостях, як 300 км/с, реляти­вістська формула (83.1) не дає іншого результату. Однак ця різниця стає помітною при значно більших швидкостях. Так, додаючи дві швидкості по 100 000 км/с за формулою (83.1), ми дістанемо ш« 180 000 км/с, що істотно відріз­няється від класичного результату (200 000 км/с). Чим більші швидкості ми додаємо, тям більшою стає ця різ­ниця. При додаванні швидкостей v = 200 000 км/с і и~ 200 000 км/с дістанемо W&277 000 км/с, а не 400 000 км/с, як це мало бути згідно класичного закону додавання швидкостей, а додаючи дві швидкості по 299 000 км/с кожна дістанемо лише ш« 299 788 км/с, а не 598 000 км/с

Цей результат повністю відповідав другому постулатові Ейнштейна. Нехай тепер обидві швидкості v і и дорівню­ють швидкості світла с. У цьому випадку

Особливо цікавий результат дістанемо, коли один або обидва доданки дорівнюють швидкості світла с. Нехай и—с. Тоді

Таким чином, які б дві швидкості ми не додавали, не можна дістати швидкість, більшу за швидкість світла у ва­куумі. Швидкість світла у вакуумі є граничною швидкістю передачі сигналів.

Слід підкреслити, що саме швидкість світла у вакуумі в граничною швидкістю, яку не можна перевищити. Швид­кість світла у певному середовищі не є граничною величи-

ною. Вона дорівнює —, де п — показник заломлення цього середовища.

Якщо швидкості v і и дуже малі порівняно з швидкістю світла с (тобто и<Сс і и<^е), то член ^--СІ і ним можна

нехтувати. Тоді замість (83.1) дістанемо галілеївський закон додавання швидкостей w—v-\-u.

? 1. Чим релятивістський закон додавання швидкостей відрізняється від закону додавання швидкостей в класичній механіці? 2. Космічний корабель віддаляється від Землі з швидкістю, близькою до швидкості світла. У напрямі польоту корабля космонавт дивиться в дзеркало. Чи побачить він своє зображення?