§ 69. Плоске і сферичне дзеркало

Розглянемо зображення точки S у плоскому дзеркалі (мал. 145). Для побудови зображення цієї точки достатньо визначити напрям двох променів, відбитих від дзеркала. Промінь SA падає на дзеркало перпендикулярно. Кут падіння цього променя дорівнює нулю, отже, і кут від­бивання теж дорівнює нулю, тобто промінь відіб'ється в напрямі AS. Промінь, що падає в напрямі SB, тобто під кутом а, відіб'ється під тим самим кутом і піде в на­прямі ВС. Відбиті промені AS і ВС не перетинаються і, отже, дзеркало не утворює дійсного зображення точки S. Однак око, що перебуває в розбіжному пучку світла, відбитого від дзеркала, побачить за дзеркалом світну точку S', положення якої визначається точкою перетину продовжень променів AS і ВС. Отже, плоске дзеркало дав уявне зображення предмета. З рівності трикутників A SB і AS В випливає, що S'A = SA.

Якщо ми побудуємо ще якийсь промінь, наприклад, SDE, то його продовження теж пройде через точку S' незалежно від значення кута падіння.

Таким чином, всі промені від світної точки, падаючи на дзеркало, відбиваються від нього так, що здається, ніби вони виходять із світної точки, розташованої за дзеркалом. Лінія, яка з'єднує світну точку з її уявним зображенням, перпендикулярна до поверхні дзеркала і ділиться нею пополам. Отже, метод побудови зображення точки в плоскому дзеркалі дуже простий. Із світної точки треба опустити перпендикуляр на площину, в якій роз­ташоване дзеркало, продовжити його за площину і знайти точку на продовженні перпендикуляра, яка знаходиться на такій самій відстані від площини, як і точка, зобра­ження якої треба побудувати. Побудова не залежить від того, проходить основа перпендикуляра через дзеркало чи ні.

Користуючись описаним способом побудови, легко по­будувати зображення предмета. Нехай АВ — обличчя (мал. 146), зображення якого треба побудувати в дзеркалі MN. Промені можна не будувати. Ми знаємо, що зобра­женням кожної точки в дзеркалі буде дзеркально симет­рична точка. Так, наприклад, зображенням точки А буде точка Лі, точки В — точка В\ і т. д. Зображення обличчя АВ у плоскому дзеркалі А\В\ буде уявним, прямим, мати­ме такий самий розмір, що й саме обличчя, і розміщене дзеркально симетрично (тобто зображення лівої частини обличчя буде правою частиною зображення і навпаки).

Плоскі дзеркала знаходять широке застосування в тех­ніці й побуті. Особливо цікавим є їх застосування у так званих кутникових відбивниках, або катафотах, основною частиною яких є три взаємно перпендикулярні плоскі дзеркала. Цікавою властивістю цього приладу є те, що падаючий на нього промінь довільної орієнтації точно відбивається назад.

Кутникові відбивники використовуються замість дзер­кал у лазерних резонаторах і в далекомірах. Спеціальні кутникові відбивники були доставлені на Місяць і ви­користані для точного вимірювання відстані до нього за допомогою лазерного променя.

Закон відбивання світла можна застосувати і для ви­значення напряму променя, відбитого від кривої поверхні. У цьому випадку напрям відбитого променя буде залежати від орієнтації дуже малого елемента відбиваючої поверх­ні, розташованого поблизу точки падіння променя, і не залежатиме від положення і форми решти частин дзер­кальної поверхні. Цей елемент поверхні можна замінити площиною, дотичною до відбиваючої поверхні у точці падіння* променя. Тоді відбивання відбуватиметься так само, як і від плоского дзеркала, яке збігається з цією допоміжною поверхнею.

З усіх неплоских дзеркал розглянемо лише сферичні, відбивна поверхня яких є зовнішньою або внутрішньою частиною сфери (мал. 147). Середина С дзеркала нази­вається полюсом. Будь-який промінь, падаючи на дзеркало через центр сфери (кут падіння дорівнює нулю), відбив­шись, піде в зворотному напрямі. Існує лише одна точка О, J яка задовольняє цій умові. Вона називається оптичним центром дзеркала. Всі прямі, що проходять через оптич­ний центр,— оптичні осі дзеркала. Одна з оптичних осей проходить через полюс С дзеркала, це головна оптична вісь. Решта оптичних осей — побічні.

Нехай на дзеркало в точку N падає промінь, паралель­ний головній оптичній осі. NO — радіус і, отже, перпен­дикуляр до сфери. Побудувавши кут відбивання, який дорівнює куту падіння, дістанемо відбитий промінь NF. Кути падіння а і NOF рівні, як односторонні кути, що "ї?^^ ^П?^{И па}Р^алельних прямих і січній. Отже, трикутник 1st О — рівнобедрений, тому \NF\~\FO\.

Проведемо дугу NK радіусом FN. Точка перетину дуги з головною оптичною віссю не збігається з точкою С, але близька до неї. Відрізок СК тим менший, чим ближче SN до головної оптичної осі. Обмежимося лише параксіаль-ними (близькими до осі) пучками, з тим, щоб можна було вважати мізерно малим відрізок |CJST|<|CF|. Для таких пучків \CF\ = \NF\ = ІГОІ, і точка F для всіх параксІаТ-них променів лежить посередині радіуса CO. Цю точку називають головним фокусом дзеркала (зрозуміло, в фоку­си і на всіх інших оптичних осях — побічні). Отже, голов­ний фокус увігнутого дзеркала — це точка, в якій після відбивання перетнуться всі параксіальні промені, що падають паралельно головній оптичній осі.

Аналогічні міркування і побудова допомагають зро­зуміти поняття уявного головного фокуса опуклого дзер­кала (мал. 148). Відстань від дзеркала до головного фокуса називають фокусною відстанню і позначають F Можна довести, що всі промені, які виходять з однієї точки, після відбивання від увігнутого дзеркала проходять через одну точку — зображення (через наближеність умови параксіальності це, звичайно, не зовсім точка а невелика пляма; для опуклого дзеркала — це точка перетину продовжень усіх відбитих променів). Для по­будови такої точки достатньо будь-яких двох променів. Ви уже вмієте будувати три такі промені. Промінь, що падає паралельно головній оптичній осі, після відбивання пройде через головний фокус (або продовження відби­того променя пройде через головний фокус — для опук­лого дзеркала). За законом оборотності, промінь що падає через головний фокус, після відбивання піде паралельно до головної оптичної осі. Нарешті, промінь на* ^мі^{в ЧЄРЄЗ ЦЄНТР} °*^ЄРИ' ^{відбиваеться} У зворотному При побудові зображення точки в увігнутому дзеркалі (мал. 149) намічають точки О, F, С, потім будують будь-які два з трьох згаданих променів. Через точку перетину відбитих променів S, пройде і решта відбитих променів — вона є дійсним зображенням точки S. Побудова зобра-

ження в опуклому дзеркалі є аналогічною, можете вико­нати її самостійно.

Тепер побудуємо зображен­ня предмета в увігнутому дзеркалі (мал. 150). Зображен­ня А\ знаходимо так само, як і на малюнку 149. Побудову зображення точки, розташо­ваної на головній осі, здійсню­ють так: проводять довіль­ний промінь ВМ і паралельно

йому відповідну побічну вісь OD; на середині відстані лежить побічний фокус F|, через який пройде відбитий від точки М промінь. Другим зручно взяти промінь, який проходить уздовж головної оптичної осі. Точка перетину двох відбитих променів — зображення В\.

Позначаймо відстань від дзеркала до предмета відстань від дзеркала до зображенняфокусну

відстань. З подібності трикутників A\B\F

і NKF можна записати рівність:

аналогічно, з подібності трикутників А\В_{0 і АВО:

ЗвідсиПеретворимо це рівняння:

Звівши подібні члени, дістанемо

fF-\-Fd—fd. Поділимо це рів­няння на добуток Ffd:

(69.1)

Ми дістали формулу дзер­кала. Ії можна застосувати і до опуклого дзеркала. Ана­логічна побудова для опук­лого дзеркала (мал. 151) пока­зує, що коли предмет розмі­щений перед дзеркалом (d>0),

то зображення розміщене по другий бік дзеркала (/<б) і фокус знаходиться за дзеркалом (F<zO). Якщо взяти всі величини за модулем, то формула опуклого дзеркала набуде такого вигляду:

(69.2)

Цей самий вираз можна дістати з розгляду подібності трикутників на малюнку 151. Зробіть це самостійно

Лінійним збільшенням дзеркала називають відношен­ня лінійних розмірів зображення і предмета:

Це відношення з подібності трикутників NKF і FA\B\ (див. мал. 150) дорівнює:

Отже, лінійне збільшення сферичного дзеркала:

(69.3)

Дослідимо формулу увігнутого сферичного дзеркала. Для цього визначимо відстань від зображення до дзер­кала:

1. Нехай предмет знаходиться в нескінченності, тобто від нього йдуть лише промені, паралельні головній оптич­ній осі. Тоді

Зображення лежить в головному фокусі, дійсне, зменшене

(точка).

2. Предмет знаходиться на скінченній відстані за цент­ ром сфери:

Зображення лежить між фокусом і центром дзеркала, дійсне, обернене, зменшене.

3. Предметровміщений у центрі дзеркала:Тоді

Зображення знаходиться теж у центрі дзеркала, дій­сне, обернене, рівне предметові.

4. Предмет розміщений між фокусом і центром дзерка­ ла:

Зображення буде дійсне, обернене, збільшене, розташо­ване за центром дзеркала.

5. Предмет перебуває у фокусі:Тоді:

Зображення знаходиться у нескінченності (відбиті промені паралельні).

6.Предмет розміщений між фокусом і дзеркалом:

Отже,

Зображення уявне, пряме, збільшене, розміщене за

дзеркалом.

Що стосується опуклого дзеркала, то з малюнка 151 видно, що зображення в ньому завжди уявне, пряме і змен­шене.

Увігнуті дзеркала широко застосовуються в науці й тех­ніці. З їх допомогою концентрують енергію Сонця в геліо-нагрівальних установках. їх використовують як рефлек­тори (відбивачі) в телескопах, прожекторах, фарах, нагрів­никах тощо. Частіше використовують увігнуті дзеркала

несферичної форми. Опуклі дзеркала застосовують як дзеркала заднього огляду на транспорті.

? 1. Чому зображення, яке дістють за допомогою плоского дзеркала, називають уявним? 2. Намалюйте сферичне увігнуте дзеркало і вкажіть його головну оптичну вісь, радіус і центр кривизни, головний фокус. 3. Які промені можна обрати для побудови зображення предмета у сфе­ричному дзеркалі? 4. Де треба помістити предмет перед сферичним увігнутим дзеркалом, щоб дістати збільшене зображення? 5. Яке зобра­ження дас сферичне опукле дзеркало?

Вправа 7

1. Людина зростом 1,75 м стоїть на відстані 6 м від стовпа. На якій відстані від себе людина має покласти горизонтально на землю плоске дзеркало, щоб побачити в ньому вершину стовпа висотою 7 м?

2. Під яким кутом до поверхні стола треба розмістити шіоеке дзеркало, щоб дістати зображення предмета, який лежить на столі, у вертикальній площині?

3. Хлопець на зріст 150 см стоїть перед увігнутим дзеркалом на відстані 6 м від нього. Його зображення лежить на відстані €0 см веред дзеркалом. Яка висота зображення? Яка фокусна відстань дзеркала? Зробити малюнок предмета і його зображення.

4. На якій відстані від обличчя треба тримати увігнуте сферичне дзеркало з фокусною відстанню F= ЬО см, щоб дістати збільшене у 5 ра­ зів зображення обличчя?

5. Опукле автомобільне дзеркало заднього огляду мав фвкусну відстань />'=45см. АпМоіобіль перебуває на відстані 9 м від цього дзеркала. На якій відстані від дзеркала дістанемо зображення авто­ мобіля? Буде воно перед дзеркалом чи за ним?

6. На якій відстані від обличчя треба тримати кишенькове опукле дзеркало, ширина якого rf—5 см, щоб бачити все своє обличчя, якщо фокусна відстань дзеркала F= 7,5 см, а довжина обличчя /=20см?