§23.4. Четвертое уравнение Максвелла
Ранее была изложена теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля (тема «Интегральные уравнения магнетизма»):
.
По
математической теореме Гаусса
.
Значит,
.
Это
справедливо для любого объема, в том
числе и для бесконечно малого,
следовательно,
§23.5. Второе уравнение Максвелла
Ранее была доказана теорема Остроградского-Гаусса для электрического смещения электростатического поля в диэлектрической среде (тема «Электростатическое поле в диэлектрической среде»).
.
С другой стороны
очевидно, что
.
По математической теореме Гаусса
.
Это справедливо для любого объема, в том числе и для бесконечно малого, следовательно,
.
Полное электрическое смещение равно сумме смещений электростатического и вихревого полей:
,
следовательно,
.
§23.6. Первое уравнение Максвелла
В теме «Электромагнитная индукция» была получена формула:
По математической теореме Стокса:
.
Это справедливо для любой площади, в том числе и для бесконечно малой, следовательно,
,
то есть,
.
Полная напряженность электрического поля
Из потенциальности
электростатического поля следует
, следовательно,
§23.7. Третье уравнение Максвелла
Вспомним теорему Стокса для магнитного поля в магнетике, выводившуюся в теме «Магнитное поле в веществе»:
.
По математической теореме Стокса
Вообще-то
ранее мы определяли макроток как ток
свободных зарядов. Но если считать, что
всегда
справедливо, то в случае нестационарного
распределения заряда по пространству
мы впадем в противоречие.
Взяв дивергенцию от обеих частей предыдущего равенства, получим с одной стороны:
.
Но с другой стороны из закона сохранения электрического заряда ясно, что если заряд внутри замкнутой поверхности меняется с течением времени, то
.
Ясно, что по математической теореме Гаусса
,
а скорость истечения свободного заряда из замкнутой поверхности
.
Тогда:
Отсюда получается, что в нестационарном случае
.
Следовательно,
!!!!
Преобразуем предыдущее соотношение:
.
В соответствии со вторым уравнением Максвелла
,
так как смешанные частные производные можно брать в произвольном порядке. Следовательно:
.
Максвелл решил считать, что в нестационарном случае
.
Тогда противоречия не возникает.
Слагаемое
Максвелл
назвалтоком
смещения, то
есть
;
.
Получается, токи всегда замкнуты. Этот факт, очевидный для стационарных токов, с введением Максвеллом токов смещения распространяется и на нестационарные токи тоже. Например, ток разряда конденсатора замыкается током смещения внутри него.
Рис.23.3
Подставляя
максвелловское определение плотности
макроскопического тока в выраженние
, получаем
третье уравнение:
Оно указывает на то, что источником магнитного поля являются не только токи свободных зарядов, но и переменные электрические поля. Это предположение во времена Максвелла не было подтверждено никакими экспериментальными фактами и являлось его гипотезой. Но оно делало магнитное и электрическое поля полностью равноправными в отношении друг друга:
не только переменное магнитное поле порождает электрическое, но и переменное электрическое порождает магнитное.