- •Глава 12. Электростатика. Электрический заряд и электростатическое поле
- •§12.1. Электрический заряд как источник электрического поля
- •§12.2. Понятие электростатического поля
- •§12.3. Принцип суперпозиции полей и поле точечного заряда
- •§12.4. Поле диполя
- •Глава 13. Электростатика. Теорема остроградского-гаусса для напряжённости электростатического поля в вакууме
- •§13.1. Вектор площади
- •§13.2. Телесный угол
- •§13.3. Поток вектора через поверхность
- •§13.4. Теорема ог
- •§13.5. Применение теоремы ог
- •Глава 14. Электростатика. Потенциал
- •§14.1. Потенциальность электростатического поля
- •§14.2. Понятие потенциала
- •§14.3. Связь между векторным полем напряжённости и скалярным полем потенциала
- •§14.4. Принцип суперпозиции полей в применении к потенциалу
- •§14.5. Примеры расчёта потенциалов полей разных конфигураций
- •§14.6. Энергия системы точечных зарядов
- •Глава 15. Электростатика.
- •§15.1. Диэлектрическая среда
- •§15.2. Неполярные диэлектрики
- •§15.3. Полярные диэлектрики
- •§15.4. Поляризация изотропного диэлектрика
- •§15.5. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в диэлектрической среде
- •§15.6. Условия на границе раздела двух изотропных диэлектрических сред
- •§15.7. Заключение
- •Глава 16. Электростатика. Проводники в электростатическом поле
- •§16.1. Введение
- •§16.2. Распределение нескомпенсированного несвязанного заряда по электростатическому проводнику
- •§16.3. Пондеромоторные силы
- •§16.4. Электрическая ёмкость уединённого проводника
- •§16.5. Неуединённый проводник
- •§16.6. Конденсаторы
- •§16.7. Батареи конденсаторов
- •§16.8. Энергия электростатического поля
- •§16.9. Энергия поляризованного диэлектрика
- •Глава 17. Постоянный электрический ток. Законы постоянного тока
- •§17.1. Основные понятия
- •§17.2. Закон Ома в дифференциальной форме
- •§17.3. Закон Ома в интегральной форме для элементарного участка
- •§17.4. Закон Ома для неоднородного участка цепи (II-я форма интегрального закона Ома)
- •§17.5. Закон Ома для однородного участка цепи (I-я форма интегрального закона Ома)
- •§17.6. Закон Ома для простого контура (III-я форма интегрального закона Ома)
- •§17.7. Законы Кирхгофа
- •§17.8. Общий взгляд на интегральный закон Ома.
- •§17.9. Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме
- •§17.10. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
- •Глава 18 .Постоянный электрический ток. Классическая теория электропроводности металлов
- •§18.1. Экспериментальные доказательства электронной проводимости в металлах
- •§18.2. Классическая теория электропроводности металлов (теория Друде-Лоренца)
- •§18.3. Закон Видемана-Франца
- •§18.4. Трудности классической теории электропроводности
- •Глава 19. Магнетизм. Магнитное поле и его источники
- •§19.1. Магнитное поле и его воздействие на движущиеся заряды
- •§19.2. Релятивистская природа магнитного воздействия
- •§19.3. Сила Ампера
- •§19.4. Магнитный момент и воздействие на него магнитного поля
- •§19.5. Магнитное поле движущегося заряда
- •§19.6. Магнитное взаимодействие зарядов
- •§19.7. Закон Био-Савара-Лапласа
- •§19.8. Простейшие примеры применения закона Био-Савара-Лапласа
- •Глава 20. Магнетизм. Интегральные уравнения
- •§20.1. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля
- •§20.2. Работа силы Ампера на перемещении проводника с током в постоянном магнитном поле
- •§20.3. Закон полного тока (теорема Стокса) в вакууме
- •§20.4. Поле тороида
- •Глава 21. Магнетизм. Магнитное поле в веществе
- •§21.1. Орбитальные моменты
- •§21.2. Классический атом в магнитном поле
- •§21.3. Классификация веществ по их магнитным свойствам
- •§21.4. Диамагнетики
- •§21.5. Парамагнетики
- •§21.6. Магнитная восприимчивость
- •§21.7. Закон полного тока в магнетике
- •§21.8. Ферромагнетики
- •§21.9. Особенности намагничивания ферромагнетиков
- •§21.9. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость ферромагнетика
- •Для того, чтобы размагнитить ферромагнетик…
- •Глава 22. Электродинамика. Электромагнитная индукция
- •§22.1. Закон Фарадея и правило Ленца
- •§22.2. Самоиндукция
- •§22.3. Замыкание и размыкание электрической цепи
- •§22.4. Энергия магнитного поля в неферромагнитной изотропной среде
- •Глава 23. Электродинамика. Основы теории максвелла
- •§23.1. Введение
- •§23.2. Сведения из математической теории поля
- •Ротор потенциального поля равен 0.
- •Дивергенция вихревого поля равна 0.
- •§23.3. Система уравнений Максвелла
- •§23.4. Четвертое уравнение Максвелла
- •§23.5. Второе уравнение Максвелла
- •§23.6. Первое уравнение Максвелла
- •§23.7. Третье уравнение Максвелла
- •§23.8. Заключение
§20.3. Закон полного тока (теорема Стокса) в вакууме
Как известно, электростатическое поле потенциально, поскольку циркуляция напряжённости электростатического поля по произвольному замкнутому контуру L
.
Вопрос с циркуляцией в вакууме будем решать на примере поля, созданного бесконечным прямым проводником с током, а потом бездоказательно обобщим на произвольное магнитное поле.
Сначала в качестве замкнутого контура L возьмём силовую линию, отстоящую от тока на расстояние r.
Рис.20.4
Теперь рассмотрим произвольный контур, охватывающий ток.
Рис.20.5
Поскольку вектор в любой точке контура направлен по касательной к концентричной току окружности, то составляющая элемента контура , сонаправленная с,. Тогда
.
.
Договоримся, что если направление тока в проводнике согласуется с направлением обхода контура по правилу правого винта, то для данного контура ток положителен, а если нет, то отрицателен.
Предположим, что замкнутый контур не охватывает проводник с током.
Рис.20.6
Обобщим полученные результаты на произвольную конфигурацию тока и запишем общее правило: циркуляция вектора по любому контуру, охватывающему проводник с током, равна произведению магнитной постоянной вакуума на силу тока, снабжённому знаком в соответствие с правилом правого винта.
В случае, если магнитное поле создаётся несколькими проводниками с током, то общее поле находится в соответствие с принципом суперпозиции, следовательно,
Таким образом, мы получаем закон полного тока:
,
где охваченный контуром полный ток равен алгебраической сумме токов, пронизывающих поверхность, натянутую на этот контур.
В случае непрерывного распределения вектора плотности тока по плоскости контура закон полного тока называется теоремой Стокса:
Циркуляция вектора магнитной индукции по данному контуру равна потоку вектора плотности тока через поверхность, натянутую на контур и ориентированную по направлению обхода контура в соответствие с правилом правого винта.
§20.4. Поле тороида
На основании закона полного тока выведем формулы, магнитного поля тороида и длинного соленоида.
Тороид это кольцевая катушка с током, витки которой равномерно намотаны на сердечник, имеющий форму тора.
Если витки катушки расположены вплотную, то тороид можно приближённо рассматривать как систему большого числа плотно уложенных одинаковых витков с токами, идущими в одном направлении.
Рис.20.7
Центры витков лежат на центральной линии тора (на рисунке 20.7 показана пунктиром) и имеют радиус (R2R1)/2.
Из соображений цилиндрической симметрии относительно оси тора понятно, что магнитные силовые линии представляют собой концентрические окружности, центры которых лежат на оси тора. Тогда для контура, совпадающего с силовой линией радиуса r, циркуляция . При r<R1 поверхность, натянутую на контур, не пересекает ни один проводник с током, следовательно =0 иВ=0. При r>R2 поверхность, натянутую на контур, каждый виток пересекает дважды: один раз в положительном, другой раз в отрицательном направлениях, следовательно, иВ тоже равны 0. Поэтому поле тороида локализовано внутри него. Для R1<r< R2 , гдеN число витков тороида. Тогда , следовательно,
Тонким называется тороид, радиус витков которого значительно меньше радиуса средней линии . Тогда любой радиусR1<r< R2 будет примерно равен Rcp. И в этом случае поле внутри тороида можно считать однородным по поперечному сечению тора. Тогда
,
где плотность витков намотки .
Бесконечный соленоид бесконечная стопа из витков с одинаковым током одинаковой формы (окружность) и размера. Технически реализуется как плотно намотанная спираль из изолированного провода, поперечное сечение которой значительно меньше её длины. Очевидно, что бесконечный соленоид можно рассматривать как тороид с бесконечными R2 и R1. Тогда это тонкий тороид. Следовательно, за пределами длинного соленоида поля нет, а внутри него оно однородно и описывается приведёнными выше формулами (l – длина соленоида):
.
Контрольные вопросы к главе 20
1. К источнику тока с ЭДС, равной 0,5 В и ничтожно малым внутренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и параллельные друг другую Расстояние между стержнями равно 20 см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнитная индукция равна 1,5 Тл. По стержням под действием сил поля скользит со скоростью 1 м/с прямолинейный проводник, сопротивление которого равно 0,02 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Чему равна ЭДС, действующая в проводнике? (Ответ: 0,3 В) (§ 20.2)
2. Чему равна сила, действующая на скользящий проводник из первой задачи? (Ответ: 3 Н) (§ 20.2)
3.Чему равна сила тока в цепи, замкнутой сколзящим проводником из первой задачи ? (Ответ: 10 А) (§ 20.2)
4. Чему равна механическая мощность, расходуемая на движение проводник из первой задачи? (Ответ:3 Вт ) (§ 20.2)
5. Чему равна мощность источника тока из первой задачи? (Ответ: 5 Вт) (§ 20.2)
6. Чему равна тепловая мощность, выделяемая в скользящем проводнике из первой задачи? (Ответ: 2 Вт) (§ 20.2)
7. Два одинаковых пропеллера с узкими металлическими лопастями вращаются с частотой 50 Гц в магнитном поле, перпендикулярном плоскостям вращения, в противоположных направлениях. Магнитная индукция равна 10 Тл, каждый пропеллер имеет две лопасти длиной 0,5 м. Чему равна разность потенциалов между центрами пропеллеров? (Ответ: 250 В) (§ 20.2)
8. По кольцу, сделанному из гибкого провода радиусом 10 см, течёт ток, сила которого равна 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле с индукцией 0,1 Тл по направлению, противоположному магнитному моменту кольца. Чему равна работа внешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали форму квадрата? Сила тока и ориентация плоскости контура поддерживались неизменными (Ответ: -67,5 мДж) (§ 20.2)
9. Не прибегая к закону Био-Савара-Лапласа, выведите зависимость магнитной индукции бесконечно длинного прямого провода от расстояния до провода. (§ 20.3)