Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Электромагнетизм.docx
Скачиваний:
64
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
2.18 Mб
Скачать

§20.3. Закон полного тока (теорема Стокса) в вакууме

Как известно, электростатическое поле потенциально, поскольку циркуляция напряжённости электростатического поля по произвольному замкнутому контуру L

.

Вопрос с циркуляцией в вакууме будем решать на примере поля, созданного бесконечным прямым проводником с током, а потом бездоказательно обобщим на произвольное магнитное поле.

Сначала в качестве замкнутого контура L возьмём силовую линию, отстоящую от тока на расстояние r.

Рис.20.4

Теперь рассмотрим произвольный контур, охватывающий ток.

Рис.20.5

Поскольку вектор в любой точке контура направлен по касательной к концентричной току окружности, то составляющая элемента контура , сонаправленная с,. Тогда

.

.

Договоримся, что если направление тока в проводнике согласуется с направлением обхода контура по правилу правого винта, то для данного контура ток положителен, а если нет, то отрицателен.

Предположим, что замкнутый контур не охватывает проводник с током.

Рис.20.6

Обобщим полученные результаты на произвольную конфигурацию тока и запишем общее правило: циркуляция вектора по любому контуру, охватывающему проводник с током, равна произведению магнитной постоянной вакуума на силу тока, снабжённому знаком в соответствие с правилом правого винта.

В случае, если магнитное поле создаётся несколькими проводниками с током, то общее поле находится в соответствие с принципом суперпозиции, следовательно,

Таким образом, мы получаем закон полного тока:

,

где охваченный контуром полный ток равен алгебраической сумме токов, пронизывающих поверхность, натянутую на этот контур.

В случае непрерывного распределения вектора плотности тока по плоскости контура закон полного тока называется теоремой Стокса:

Циркуляция вектора магнитной индукции по данному контуру равна потоку вектора плотности тока через поверхность, натянутую на контур и ориентированную по направлению обхода контура в соответствие с правилом правого винта.

§20.4. Поле тороида

На основании закона полного тока выведем формулы, магнитного поля тороида и длинного соленоида.

Тороид  это кольцевая катушка с током, витки которой равномерно намотаны на сердечник, имеющий форму тора.

Если витки катушки расположены вплотную, то тороид можно приближённо рассматривать как систему большого числа плотно уложенных одинаковых витков с токами, идущими в одном направлении.

Рис.20.7

Центры витков лежат на центральной линии тора (на рисунке 20.7 показана пунктиром) и имеют радиус (R2R1)/2.

Из соображений цилиндрической симметрии относительно оси тора понятно, что магнитные силовые линии представляют собой концентрические окружности, центры которых лежат на оси тора. Тогда для контура, совпадающего с силовой линией радиуса r, циркуляция . При r<R1 поверхность, натянутую на контур, не пересекает ни один проводник с током, следовательно =0 иВ=0. При r>R2 поверхность, натянутую на контур, каждый виток пересекает дважды: один раз в положительном, другой раз в отрицательном направлениях, следовательно, иВ тоже равны 0. Поэтому поле тороида локализовано внутри него. Для R1<r< R2 , гдеN  число витков тороида. Тогда , следовательно,

Тонким называется тороид, радиус витков которого значительно меньше радиуса средней линии . Тогда любой радиусR1<r< R2 будет примерно равен Rcp. И в этом случае поле внутри тороида можно считать однородным по поперечному сечению тора. Тогда

,

где плотность витков намотки .

Бесконечный соленоид бесконечная стопа из витков с одинаковым током одинаковой формы (окружность) и размера. Технически реализуется как плотно намотанная спираль из изолированного провода, поперечное сечение которой значительно меньше её длины. Очевидно, что бесконечный соленоид можно рассматривать как тороид с бесконечными R2 и R1. Тогда  это тонкий тороид. Следовательно, за пределами длинного соленоида поля нет, а внутри него оно однородно и описывается приведёнными выше формулами (l – длина соленоида):

.

Контрольные вопросы к главе 20

1. К источнику тока с ЭДС, равной 0,5 В и ничтожно малым внутренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и параллельные друг другую Расстояние между стержнями равно 20 см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнитная индукция равна 1,5 Тл. По стержням под действием сил поля скользит со скоростью 1 м/с прямолинейный проводник, сопротивление которого равно 0,02 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Чему равна ЭДС, действующая в проводнике? (Ответ: 0,3 В) (§ 20.2)

2. Чему равна сила, действующая на скользящий проводник из первой задачи? (Ответ: 3 Н) (§ 20.2)

3.Чему равна сила тока в цепи, замкнутой сколзящим проводником из первой задачи ? (Ответ: 10 А) (§ 20.2)

4. Чему равна механическая мощность, расходуемая на движение проводник из первой задачи? (Ответ:3 Вт ) (§ 20.2)

5. Чему равна мощность источника тока из первой задачи? (Ответ: 5 Вт) (§ 20.2)

6. Чему равна тепловая мощность, выделяемая в скользящем проводнике из первой задачи? (Ответ: 2 Вт) (§ 20.2)

7. Два одинаковых пропеллера с узкими металлическими лопастями вращаются с частотой 50 Гц в магнитном поле, перпендикулярном плоскостям вращения, в противоположных направлениях. Магнитная индукция равна 10 Тл, каждый пропеллер имеет две лопасти длиной 0,5 м. Чему равна разность потенциалов между центрами пропеллеров? (Ответ: 250 В) (§ 20.2)

8. По кольцу, сделанному из гибкого провода радиусом 10 см, течёт ток, сила которого равна 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле с индукцией 0,1 Тл по направлению, противоположному магнитному моменту кольца. Чему равна работа внешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали форму квадрата? Сила тока и ориентация плоскости контура поддерживались неизменными (Ответ: -67,5 мДж) (§ 20.2)

9. Не прибегая к закону Био-Савара-Лапласа, выведите зависимость магнитной индукции бесконечно длинного прямого провода от расстояния до провода. (§ 20.3)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]