§16.8. Энергия электростатического поля

Вспомним формулу энергии системы распределённого заряда, полученную ранее:

,

где − потенциал, созданный в данной точкевсем распределённым зарядом; − поверхностная плотность заряда в данной точке (мы будем иметь в виду заряд, распределённый по поверхности).

Рассмотрим уединённый проводник, несущий на себе нескомпенсированный заряд Q. Потенциал, который при этом имеет проводник, обозначим . Интеграл потенциальной энергии такой системы примет вид:

.

Используя определение ёмкости уединённого проводника, можем выразить заряд через потенциал и ёмкость и исключить его из выражения:

.

Но точно также можно исключить из выражения потенциал:

Все три полученных формулы энергии уединённого заряженного проводника являются эквивалентными и должны применяться адекватно условию задачи.

Рассмотрим заряженный плоский конденсатор. Потенциал отрицательной пластины определим равным 0. Тогда потенциал положительной пластины равен U, то есть напряжению конденсатора. При этом интегрирование сводится к положительной пластине:

Аналогично предыдущему получаем три эквивалентные формулы энергии заряженного конденсатора:

Являясь абсолютно правильными, приведённые формулы энергии наводят на мысль, что энергия системы заряженных проводников локализуется на местах расположения зарядов. Это неверно. В рамках электростатики доказать обратное невозможно, но из электродинамики, рассмотрение которой ждёт нас впереди, следует, что

энергия локализована в пространстве, окружающем заряженные тела, поскольку её материальным носителем является электростатическое поле.

Энергия заряженного плоского конденсатора сосредоточена в его полости, заполненной однородным электростатическим полем. Следовательно, и распределение энергии однородно, то есть можно найти объёмную плотность энергии электростатического поля w, поделив энергию заряженного конденсатора

на объём его полости

.

Тогда

.

Вспомним, что электростатическое поле можно характеризовать не только напряженностью, но и электрическим смещением . Тогда получим три эквивалентные формулы объёмной плотности электрического поля:

.

§16.9. Энергия поляризованного диэлектрика

Из последней формулы следует, что объёмная плотность энергии поля в вакууме

Если при неизменных источниках заполнить вакуум диэлектриком с проницаемостью , то

,

где − напряжённость поля в диэлектрической среде. Тогда

Следовательно, объёмная плотность при тех же самых источниках в вакууме в  раз больше, чем в диэлектрике. Значит, при неизменных зарядах на обкладках конденсатора электростатическое поле будет стремиться втянуть диэлектрик внутрь полости конденсатора. В результате этого, диэлектрик по сравнению с неполяризованным состоянием приобретёт приращение объёмной плотности энергии отрицательного знака:

где Р − модуль вектора поляризации. В векторной форме:

Контрольные вопросы к главе 16

1. Баскетбольный мяч лопнет, если перепад между внутренним давлением и наружным превысит 10⁵ Па. При этом радиус мяча перед взрывом будет равен 125 мм. Какой заряд можно равномерно намазать на поверхность абсолютно пустого баскетбольного мяча, чтобы он не лопнул? (Ответ: 261093 нКл) (§16.3)

2. Два металлических шара радиусами 2 см и 6 см соединены длинным тонким проводником, ёмкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщён заряд 1 нКл. Чему равны поверхностные плотности заряда шаров? (Ответ: 49,8 нКл/м²; 16,6 нКл/м²) (§16.4)

3. Материальная точка массой m=10 мг, несущая заряд 5 нКл, находится на бесконечном удалении от нейтральной проводящей сферы радиусом 5 см. Материальную точку слегка подталкивают в направлении центра шара. Какую скорость будет она иметь на расстоянии 10 см от центра? (Ответ: 2,6 м/с) (§16.5)

4. Точка С находится в углу между двумя взаимно перпендикулярными проводящими нейтральными плоскостями так, как показано на рисунке. Расстояние a=2 см, габариты плоскостей значительно больше a. Чему равна работа внешних сил для перенесения точечного заряда, q=1 нКл из бесконечности в данную точку? (Ответ: -0,610^-6 Дж) (§16.5)

5. Полость сферического конденсатора с радиусами обкладок 5см и 10 см наполовину наполнили маслом, диэлектрическая проницаемость которого равна 2,2. Чему равна ёмкость получившегося конденсатора? (Ответ: 12,23 пФ) (§16.6)

6. Пять точек попарно соединены конденсаторами с ёмкостью С. Какова ёмкость С0 между любыми двумя из этих точек? (Ответ: 2,5С) (§16.7)

7. Конденсатор, заполненный жидким диэлектриком с проницаемостью =2,2, зарядили, затратив на это энергию 2 кДж. Затем, не отсоединяя конденсатор от источника, слили из него диэлектрик, отсоединили от источника и разрядили. Чему равна энергия, выделившаяся при разряде? (Ответ: 0,91 кДж) (§16.8)

8. Плоский конденсатор с квадратными пластинами площадью 100 см² и расстоянием между пластинами, равным 3 мм, заряжен до напряжения 2 кВ и отсоединён от источника тока. С какой силой широкая пластина фарфора с проницаемостью 5 и толщиной 3 мм начинает втягиваться в конденсатор? (Ответ: 0,94 мН) (§16.8)