§14.6. Энергия системы точечных зарядов

До сих пор мы рассматривали потенциальную энергию пробного заряда в поле источников. Теперь мы ставим вопрос об энергии, которой обладает система источников сама по себе. Есть эта энергия или её нет? Ответ на этот вопрос является одновременно ответом на вопрос: а нужно ли было совершить работу для создания этой системы, поскольку из закона изменения механической энергии в отсутствии внешних потенциальных полей следует

.

В нашем случае работу непотенциальных сил должны выполнять внешние по отношению к системе силы. Кроме этого, мы будем рассматривать только неподвижные заряды, и до воздействия внешних сил, и тогда, когда заряды уже собраны в систему. Поэтому изменение механической энергии будет совпадать с изменением потенциальной энергии взаимного расположения источников. Тогда закон изменения механической энергии примет вид:

В интегральной форме:

Очевидно, что конфигурация бесконечного удаления источников друг от друга может считаться началом отсчёта потенциальной энергии. Поэтому из последнего соотношения получим способ для определения потенциальной энергии взаимного расположения источников или энергии системы точечных зарядов:

.

Здесь под А_внеш нужно понимать работу внешних сил по сведению точечных источников в данную конфигурацию из конфигурации их бесконечного удаления друг от друга.

Рассмотрим систему двух точечных источников Q₁ и Q₂, отстоящих друг от друга на расстояние R₁₂. Работа внешних сил по сближению их из бесконечного удаления до указанного расстояния не должна зависеть от способа сближения. Поэтому мы в праве выбрать тот способ сближения, который наиболее удобен с точки зрения вычислений. Это способ, когда один заряд неподвижен и может играть роль источника, а второй перемещается по направлению к первому и играет роль пробного заряда. Тогда потенциальная энергия конфигурации - это потенциальная энергия пробного заряда в поле источника, то есть

Хотя, для получения этого результата мы отдали роль источника заряду Q₁, а пробного − заряду Q₂, выражение показывает, что оба заряда, на самом деле равноправны.

Можно нарисовать матрицу 22, номера столбцов которой будут, например, номерами возможных источников, а номера строк − номерами возможных пробных зарядов:

	1	2
1
2

Для краткости обозначим: .Тогда можно записать, что, или, но можно и так:

Установив в нужном месте заряды Q₁ и Q₂, будем приближать к ним заряд Q₃, создавая систему из трёх зарядов. Очевидно, что к уже сделанной работе мы добавим слагаемые , которые получаются, если зарядQ₃ играет роль пробного в поле источников Q₁ и Q₂. Но в результате мы можем записать матрицу, в которой уже три заряда могут получить роли как пробных, так и источников:

	1	2	3
1
2
3

Теперь энергию системы можно записать как

.

А можно как

Иными словами, для получения системы мы можем суммировать все поддиагональные ячейки, можем суммировать все наддиагональные ячейки. Результат не изменится, так как матрица транспонированная. А можем суммировать все недиагональные ячейки и делить результат пополам. В последнем способе слагаемые можно расставлять множеством способов. Можно так:

,

то есть суммы каждой строки мы суммировали по всем строкам.

Рассмотрим физический смысл суммы по одной строке, например, по первой:

.

Это произведение первого заряда на потенциал, созданный на его месте всеми зарядами кроме него. Тогда способ суммирования сумм каждой строки по всем строкам можно записать так:

Потенциальная энергия системы зарядов равна полусумме произведений каждого заряда на потенциал, создаваемый на его месте всеми остальными зарядами, кроме него.

Такое представление энергии системы зарядов полезно тем, что позволяет сделать обобщение на случай непрерывного распределения заряда: очевидно, что дискретное суммирование будет заменено интегрированием. Кроме этого, точечный заряд является элементарным, то есть пренебрежимо малым по сравнению с полным зарядом системы (в выражении элементарного зарядаdV − объём, занимаемый этим зарядом, в котором и создаётся потенциал ). Значит, в выражении

потенциал  это потенциал, созданный всем зарядом системы, распределённым по объёму V, в точке , принадлежащей этому объёму.

При распределении заряда по поверхности интегрирование, очевидно, нужно проводить по поверхности, поскольку элементарным зарядом будет заряд .

Контрольные вопросы к главе 14

1. Можно ли придумать систему источников, электростатическое поле которых имело бы одноосную неоднородность? Например: . Силовые линии такого поля могут выглядеть так, как показано на рисунке. (Ответ: нет)(§14.1)

2. При разряде молнии переносится заряд Q= 40 Кл, причем разность потенциалов между концами молнии достигает значения U= 35 МВ. Какая энергия при этом выделяется? (Ответ: 1,410⁹Дж) (§14.2)

3. Поле потенциала в декартовых осях описывается соотношением: , где А=810^-3 В/м³. Чему равен модуль напряжённости электростатического поля в точке с координатами х=5 см, y=1 см, z=0? Чему равен угол между вектором напряжённости и осью z в этой точке? (Ответ: 410^-6В/м; 180) (§14.3)

4. В электронной лампе электроны вылетают из катода, представляющего собой раскалённую металлическую пластину, и собираются на аноде, представляющую собой точно такую же металлическую пластину (холодную), расположенную параллельно катоду напротив него на расстоянии 8 мм, значительно меньшем размеров пластин. Потенциал электрического поля между пластинами меняется по закону (А=15 В/м^4/3), где х  расстояние до катода. Чему равны плотности поверхностных зарядов на катоде и аноде? (Ответ: 0; 35,410^-12Кл/м²) (§14.3)

5. Определите линейную плотность заряда τ бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению положительного заряда Q= 10-9 Кл с расстояния r₁=0,4 м до расстояния r₂=0,1 м в направлении, перпендикулярном нити, равна A=10^-3 Дж. (Ответ: -410^-5Кл/м) (§14.5)

6. Какую работу нужно совершить, чтобы шесть одинаковых зарядов, равных 2 нКл и бесконечно удалённых друг от друга, перенести в вершины равностороннего шестиугольника со стороной 4 см? (Ответ: 10 мкДж) (§14.6)

7. Металлический шар радиусом R₁=1 м заряжен зарядом -1 мКл и окружён заземлённой сферической оболочкой радиусом R₂=9 м. Чему равна энергия такой системы? (Ответ: 4 кДж) (§14.6)

8. Заземлённый металлический шар радиусом R₁=1 м окружён сферической оболочкой радиусом R₂=3 м, заряженной зарядом 1 мКл. Чему равна энергия такой системы? (Ответ: 3 кДж) (§14.6)