§12.3. Принцип суперпозиции полей и поле точечного заряда
В прошлом параграфе
были рассмотрены качественные методы
воспроизведения электростатического
поля. Но вектор поля в любой точке
пространства должен определяться
количественно. Для этого, прежде всего,
необходимо помнить, что электростатическое
поле однозначно определяется его
источниками: их расположением и
значениями. Ключом для определения
напряжённости поля в данной точке
пространства является закон Кулона. По
определению вектор
совпадает с
силой
, действующей
со стороны поля, созданного источниками,
на единичный положительный пробный
заряд, находящийся в данной точке. Но
сила со стороны поля точечных источниковпо определению
и есть сила Кулона, то есть сила со
стороны источников, действующая на
пробный заряд.
Поэтому,
определяя вектор
, нужно
действовать по следующему правилу:
мысленно
поместив в точку
единичный
положительный заряд, нужно в соответствие
с законом Кулона определить силу, с
которой источники действуют на него.
Полученный вектор силы и будет равен
вектору напряжённости.
В случае, если точечных источников поля больше, чем один, пробный заряд испытывает на себе воздействие всех источников сразу. В соответствие с принципом суперпозиции сил или, что то же самое, с законом равнодействующей, о котором шла речь в курсе механики, сила, действующая на пробный заряд, равна сумме сил, действующих со стороны каждого источника на пробный заряд:
,
где i − номер отдельного источника, а N − их полное количество. Как уже говорилось, сила со стороны i-го источника выражается через значение пробного заряда и напряжённость поля этого источника в точке нахождения пробного заряда:
.
Следовательно,
С другой стороны
, где
−
напряжённость общего поля на месте
пробного заряда. Отсюда
.
Произведя сокращение, окончательно получаем:
.
Эта формула является математическим выражением принципа суперпозиции физических полей, согласно которому
вектор физического поля, созданного несколькими источниками, равен сумме векторов полей, созданных каждым источником по отдельности.
Если поле создано непрерывно распределённым зарядом, то в последней формуле сумма заменяется интегралом по вкладам в данной точке пространства от всех элементарных зарядов:
.
Таким образом, опираясь на принцип суперпозиции принципиально возможно рассчитать поле электрической напряжённости любой системы зарядов, которую всегда можно представить как систему точечных зарядов. Но для этого необходимо уметь определять поле точечного источника.
Для определения
поля одного точечного источника будем
действовать в соответствии с указанным
правилом: мысленно поместим в точку
пространства
, окружающего
источникQ,
единичный положительный пробный заряд
и с помощью закона Кулона определим
вектор силы
, действующий
на него со стороны источника. По Кулону
эта сила будет направленавдоль
прямой, соединяющей источник и положение
.
Значит, и искомый вектор напряжённости
будет направлен так же. Для простоты
начало отсчёта положения поместим в
точку нахождения источника. В случае
положительного источника положительный
пробный заряд будет отталкиваться, а в
случае отрицательного источника −
притягиваться к нему:
Рис.12.10
Теперь на основании
количественной формулы закона Кулона
определим модуль напряжённости:
, следовательно
,
где r − расстояние от источника до точки, где исследуется напряжённость поля. Из этого выражения становится понятно, почему сила, действующая на пробный заряд со стороны поля, равна произведению пробного заряда на напряжённость. По закону Кулона
