§17.10. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

Рассмотрим скалярное произведение плотности тока на напряжённость движущей силы:

Выражение , стоящее в числителе, представляет собой мощность электрических и сторонних сил, имеющую место в элементарном объёме проводникаdV. Следовательно, скалярное произведение представляет собойобъёмную плотность мощности этих сил.

В стационарном случае заряд dq находится в равновесии, а значит, элементарная работа и мощность его равнодействующей равна 0. Следовательно, мощность движущей силы по модулю равна мощности силы сопротивления, то есть тепловой мощности. Итак, объёмная плотность движущей силы равна объёмной плотности тепловой мощности.

Вспомним закон Ома в дифференциальной форме: . Умножим скалярно обе части этого равенства на вектор:

.

Поскольку, в левой части стоит объёмная плотность мощности движущей силы, то правая часть представляет собой объёмную плотность тепловой мощности. Её можно выразить также через плотность тока и удельное сопротивление, используя выражение напряжённости из дифференциального закона Ома: Итак, мы получили выражение объёмной плотности тепловой мощности в случае стационарного поля плотности тока:

,

которое называется законом Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Контрольные вопросы к главе 17

1. Заземление осуществлено посредством металлического шара радиусом 3 см, зарытым глубоко в землю. Удельная проводимость почвы в месте заземления однородна и равна 100 Омм. Чему равно сопротивление заземления? (Ответ: 265 Ом)

2. Чему равно сопротивление участка, изображённого на рисунке? R=50 Ом, r=10 Ом.

(Ответ: 14 Ом)

3. Два аккумулятора с ЭДС =57 В и =32 В соединены так, как показано на схеме.

Отношение внутренних сопротивлений r₂/r₁=1,5. Чему равно напряжение между точками А и В? (Ответ: 47 В)

4. Чему равны ЭДС и внутреннее сопротивление источника, схема которого представлена на рисунке? Оправданно ли создание такого источника?

₁=3 В, ₂=10 В, ₃=5 В; r₁=1 Ом, r₂=2 Ом; r₃=3 Ом. (Ответ: 4 В; 2,2 Ом; нет)

5. Какое количество тепла выделится в цепи заряда конденсатора, если ёмкость конденсатора С=6 мкОм, ЭДС источника, с помощью которого происходит заряд, =5 кВ, а заряд конденсатора производится полный. (Ответ: 15 Дж)

6. Трамвай массы 22,5 тонны идёт сначала по горизонтальному участку, а затем в гору с уклоном 0,03 рад. В первом случае ток в двигателе равен 60 А, а во втором случае 118 А. В качестве силы сопротивления учитывать только трение качения, коэффициент которого равен 0,01. Напряжение в линии 500 В, КПД трамвая 0,75. Чему равны скорости трамвая в первом и втором случаях? (Ответ: 10,2 м/с; 5 м/с)

7. Чему равна объёмная плотность тепловой мощности на поверхности шара заземления из первой задачи, если шар имеет потенциал 5 кВ? (Ответ: 833 МДж/м³)

Глава 18 .Постоянный электрический ток. Классическая теория электропроводности металлов

§18.1. Экспериментальные доказательства электронной проводимости в металлах

18.1.1 Опыт Рикке

Внешнее сопротивление цепи постоянного тока в опыте Рикке было собрано в виде «сэндвича» из цилиндров меди и алюминия, плотно прижатых друг к другу основаниями (рис.18.1).

Рис.18.1

Постоянный ток пропускался по этой цепи в течение года, и за это время через цилиндры прошло 3,5 МКл электрического заряда. После демонтажа медно-алюминиевой сборки не было замечено никаких признаков диффузии одного металла в другой. Отсюда был сделан вывод о том, что ток по различным металлам переносится носителями, одинаковыми для всех металлов. Поэтому это не могли быть ионы металлов.

18.1.2. Опыт Стюарта, Толмена-Мандельштама, Папалекси

Как известно, «отпечатками пальцев» любой элементарной частицы является её удельный заряд, то есть отношение заряда частицы к её массе . В опыте СТМП было убедительно доказано, что носитель несвязанного заряда в любом металле имеет удельный заряд электрона.

Опыт имеет две конфигурации: поступательного движения и вращательного движения, принципиально не отличающиеся друг от друга.

Рис.18.2

Мы рассмотрим конфигурацию поступательного движения (рис.18.2). Металлический стержень длиной l и площадью поперечного сечения S со скоростью ₀ ударяется в стену. В момент удара стержень замыкает цепь гальванометра. Несвязанные заряды после удара по инерции продолжают движение и протекают по цепи гальванометра до тех пор, пока их суммарная кинетическая энергия упорядоченного движения не перейдёт в джоулево тепло на сопротивлении этой цепи.

В течение элементарного интервала времени dt элементарный сброс кинетической энергии упорядоченного инерционного движения несвязанного заряда равен элементарному выделенному теплу, которое можно выразить через мгновенную тепловую мощность P:

Мгновенное значение кинетической энергии

,

где  общее число носителей в стержне (n  концентрация), m₀  масса одного носителя,  мгновенная дрейфовая скорость носителей по часам, запущенным в момент времени остановки стержня. Тогда

.

Правая часть исходного равенства:

,

где dq  элементарный в математическом смысле заряд, протекший через гальванометр. Следовательно, имеем соотношение дифференциалов:

.

Сократив общие множители, получим:

.

Проинтегрируем это уравнение от начального состояния (q=0, =₀) до конечного (q=q_max, =0):

.

Каждая из величин правой части измеряется в эксперименте. Экспериментальный результат опыта СТМП совпал со значением удельного заряда электрона, измеренным независимыми способами.