§18.2. Классическая теория электропроводности металлов (теория Друде-Лоренца)

Теория Д-Л построена на трёх предположениях.

1. Носители тока в металле, электроны, образуют идеальный газ.

2. При движении в матрице металлического кристалла электроны сталкиваются с ионами, находящимися в узлах кристаллической решётки.

3. При столкновении с ионами электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения.

Для того чтобы понять изложение этой теории, необходимы некоторые сведения из молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Во-первых, напомним, что каждая частица газа участвует сразу в двух движениях: упорядоченном и тепловом. Упорядоченное движение связано с наличием у всех частиц средней по времени общей скорости . Тепловое (хаотическое) движение означает, что, несмотря на движение всех частиц, газ в целом неподвижен.

Во-вторых, среднеквадратичной скоростью теплового движения частиц газа называется квадратный корень из среднего квадрата скорости теплового движения. В случае идеального газа

,

где k  постоянная Больцмана, T  абсолютная температура идеального газа, m₀  масса одной частицы.

В третьих, средний модуль скорости теплового движения частиц идеального газа

.

Как видно, коэффициент связи между иблизок к единице, и в теории Д-Л они считаются одинаковыми. Тогда в соответствие с первым предположением теории средняя скорость теплового движения электрона в металле при комнатных температурах (Т=300 К)

.

Плотность электрического тока связана только со скоростью упорядоченного движения электронов (дрейфовой скоростью):

.

Самые большие из технически достижимых в металлах значения плотности тока составляют величины порядка 10⁸ А/м². Для одновалентных металлов концентрация электронов n равна концентрации ионов кристаллической решётки и составляет величину порядка 10³⁰ м^-3. Тогда характерная величина дрейфовой скорости электронов

.

Значит, теория Д-Л предполагает, что средняя скорость теплового движения электронов в металле значительно больше скорости их упорядоченного движения:

.

Второе предположение теории позволяет оценить среднее расстояние между последовательными столкновениями электрона в металле (длину пробега). Выходит, что длина пробега равна межатомному расстоянию ионов решётки:

.

Из школьной физики известно, что межатомное расстояние  величина порядка одного ангстрема: Å=10^-10 м. Отсюда, кстати, и оценка концентрации ионов в кристалле химически чистого металла, которая равна а^-3.

Обратимся к предположению III. Дрейфовая  это та скорость, которая возникает под воздействием напряжённости поля движущих сил Е. Во всех практических случаях характерный размер неоднородностей такого поля значительно превосходит межатомное расстояние ионной матрицы. Значит, на длине свободного пробега электрона поле движущих сил можно считать однородным, а движение электрона равнопеременным с ускорением . Если, согласно предположению, при ударе электрона о решётку его скорость упорядоченного движения полностью теряется, то к концу свободного пробега электрон приобретает её максимальное значение

,

где  время свободного пробега. Ясно, что

.

Дрейфовую скорость, очевидно, можно трактовать как среднюю скорость упорядоченного движения на длине свободного пробега. В соответствие с кинематикой равнопеременного движения:

Тогда плотность тока

с учётом того, что дрейфовая скорость отрицательного носителя направлена против векторов иТо есть получился закон Ома в дифференциальной форме, где удельное сопротивление

.

Итак, теория Д-Л позволяет получить дифференциальную форму закона Ома. Кроме этого, исходя из представлений этой теории, можно объяснить выражение объёмной плотности тепловой мощности: само по себе,не прибегая к равенству объёмных плотностей тепловой мощности и мощности движущих сил. Покажем это.

Пусть  энергия, сообщённая электрону на длине свободного пробега полем движущих сил. По предположению III она переходит в тепло.

Усредняя по всем соударениям и учитывая, что из-за хаотичности теплового движения получим:

.

Пренебрегая разницей между и, имеем:

,

То есть мы можем сказать, что в среднем в результате соударения электрон теряет только энергию упорядоченного движения. Используем полученное ранее выражение дрейфовой скорости:

В единице объёма кристалла n электронов, каждый из которых испытывает соударений в секунду. Следовательно, количество тепла, выделяющееся в единице объёма за единицу времени:

.