§19.6. Магнитное взаимодействие зарядов

Пусть  магнитная индукция поля, созданного 1-м зарядом на месте второго. Тогда магнитная сила, с которой первый заряд воздействует на второй:

Аналогично выражение силы, с которой второй заряд воздействует на первый:

Анализ этих формул показывает, что две частицы одного заряда, движущиеся параллельно и лежащие на одной прямой, перпендикулярной их скоростям, притягиваются в соответствие с III-им законом Ньютона (рис.19.6).

Рис.19.6

Разноимённые заряды в такой ситуации будут отталкиваться в соответствие с III-им законом Ньютона.

Если частицы будут двигаться антипараллельно, то при остальных равных условиях разноимённые частицы будут притягиваться, а одноимённые будут отталкиваться также в соответствие с III-им законом Ньютона.

Но в общем случае III-й закон Ньютона выполняться не будет:

Рис.19.7

, но линии действия этих сил не совпадают. Есть пример ещё более красноречивый:

Рис.19.8

В этом случае .

Дело в том, что III-й закон Ньютона является частным случаем закона сохранения импульса замкнутой системы. Импульс системы двух движущихся зарядов не сохраняется, поскольку она не является замкнутой. Таковой является система «заряды+электромагнитное поле». Импульс электромагнитного поля компенсирует несохранение импульса частиц.

§19.7. Закон Био-Савара-Лапласа

По принципу суперпозиции магнитные поля движущихся частиц векторно складываются, причём каждый заряд возбуждает поле, не зависящее от наличия других источников. Следовательно, магнитное поле, созданное элементом объёма dV проводника с током, равно сумме магнитных полей каждого носителя, находящегося в этом объёме. Поскольку, все носители одинаковы, имеют общую скорость и находятся в одной точке, то общее поле

,

где  общее количество носителей,  поле одного носителя. То есть,

Рис.19.9

Полученная формула и есть закон Био-Савара-Лапласа, то есть соотношение, описывающее магнитную индукцию, созданную элементом проводника с токомI (рис.19.9):

§19.8. Простейшие примеры применения закона Био-Савара-Лапласа

19.8.1. Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

Рис.19.10

Для всех элементов рассматриваемого на рисунке 19.10 участка прямолинейного проводника с током направление элементарного вкладав общий вектор магнитной индукции – одинаково (перпендикулярно плоскости рисунка от нас). Следовательно, для подсчёта модуля векторав точкеА В(А) достаточно учитывать только модули элементарных вкладов

Из дополнительного рисунка видно, что

.

Следовательно,

Окончательно:

В случае бесконечно длинного проводника



Силовая линия представляет собой окружность, концентрическую с проводником, направление вектора магнитной индукции будет соответствовать правилу правого винта:

Рис.19.11

19.8.2. Взаимодействие двух бесконечно длинных прямых параллельных токов

Рис.19.12

Этими формулами пользуются для определения единицы измерения тока.

19.8.3. Магнитное поле кругового витка с током в центре витка

; 

 .

, следовательно,

.

19.8.4. Магнитное поле кругового витка с током на произвольной точке оси, перпендикулярной витку и проходящей через его центр

; ;;

 .

Рис.19.14

Поскольку dB создан двумя диаметрально противоположными элементами dl, то интегрирование нужно производить по половине окружности. Следовательно,

.

С учётом направления:

;

при .

19.8.5. Магнитное поле кругового витка с током в произвольной точке плоскости витка, удалённой от витка

Рис.19.15

При векторыпараллельны друг другу, следовательно, линии диаметрально противоположных элементарных участков виткапересекают их под одинаковым углом. По закону БСЛ:

Они направлены антипараллельно, то есть

После подстановки получаем:

.

Точно так же, как и в предыдущем пункте, интегрировать нужно по половине окружности, следовательно,

.

Из рисунка видно, что

Контрольные вопросы к главе 19

1. Какое время должен затратить протон в магнитном поле циклотрона, чтобы приобрести кинетическую энергию 10 МэВ, если при каждом обороте протон проходит между дуантами разность потенциалов 30 кВ? Магнитное поле циклотрона равно 1 Тл. (Ответ: 3,47 мкс) (§19.1)

2. Тонкое металлическое кольцо быстро вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его диаметр и перпендикулярной однородному магнитному полю с индукцией 10^-2 Тл. Пренебрегая трением в оси, определите, через какое время угловая скорость вращения уменьшается в е раз. (Ответ: 7,2 с) (§19.1)

3. По тонкому проводу в виде кольца радиусом 20 см течёт ток 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с индукцией 20 мТл. Чему равна сила, растягивающая кольцо? (Ответ: 0,4 Н) (§19.3)

4. На оси контура с током, магнитный момент которого равен 10 мАм², находится такой же контур. Вектор магнитного момента второго контура перпендикулярен оси. Чему равен механический момент, действующий на второй контур? Расстояние между контурами равно 50 см. Размеры контуров малы по сравнению с расстоянием между ними. (Ответ: 0,16 нНм) (§19.4)

5. Как будет себя вести изначально неподвижный магнитный момент, направленный по полю в представленном на рисунке магнитном поле? (Ответ: ускоренно двигаться влево) (§19.4)

6. Выполняется ли третий закон Ньютона при магнитном взаимодействии точечных зарядов? Возможна ли ситуация, когда первый заряд на второй действует, а второй на первый нет? (§19.5)

7. Какова степень расстояния между источником и точкой наблюдения в зависимости модуля магнитной индукция от точки наблюдения?(§19.7)

8. Магнитный момент, равный 1 Ам², помещён в центр плоской петли радиуса 10 см на бесконечно длинном тонком проводе с силой тока 50 А, такой как показано на рисунке. Чему равен механический момент, действующий на магнитный? (Ответ: 214 мкНм) (§19.8)

9. Магнитный момент, равный 1 Ам², помещён в центр плоской петли радиуса 10 см на бесконечно длинном тонком проводе с силой тока 50 А, такой как показано на рисунке. Чему равен механический момент, действующий на магнитный? (Ответ: 414 мкНм) (§19.8)

10. Магнитные моменты из двух предыдущих задач перенесли на 5 метров из центров петель перпендикулярно проводу вверх. На сколько будут отличаться механические моменты первого и второго магнитного момента в новом положении? (Ответ: второй больше первого на 5нНм) (§19.8)