- •Глава 12. Электростатика. Электрический заряд и электростатическое поле
- •§12.1. Электрический заряд как источник электрического поля
- •§12.2. Понятие электростатического поля
- •§12.3. Принцип суперпозиции полей и поле точечного заряда
- •§12.4. Поле диполя
- •Глава 13. Электростатика. Теорема остроградского-гаусса для напряжённости электростатического поля в вакууме
- •§13.1. Вектор площади
- •§13.2. Телесный угол
- •§13.3. Поток вектора через поверхность
- •§13.4. Теорема ог
- •§13.5. Применение теоремы ог
- •Глава 14. Электростатика. Потенциал
- •§14.1. Потенциальность электростатического поля
- •§14.2. Понятие потенциала
- •§14.3. Связь между векторным полем напряжённости и скалярным полем потенциала
- •§14.4. Принцип суперпозиции полей в применении к потенциалу
- •§14.5. Примеры расчёта потенциалов полей разных конфигураций
- •§14.6. Энергия системы точечных зарядов
- •Глава 15. Электростатика.
- •§15.1. Диэлектрическая среда
- •§15.2. Неполярные диэлектрики
- •§15.3. Полярные диэлектрики
- •§15.4. Поляризация изотропного диэлектрика
- •§15.5. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в диэлектрической среде
- •§15.6. Условия на границе раздела двух изотропных диэлектрических сред
- •§15.7. Заключение
- •Глава 16. Электростатика. Проводники в электростатическом поле
- •§16.1. Введение
- •§16.2. Распределение нескомпенсированного несвязанного заряда по электростатическому проводнику
- •§16.3. Пондеромоторные силы
- •§16.4. Электрическая ёмкость уединённого проводника
- •§16.5. Неуединённый проводник
- •§16.6. Конденсаторы
- •§16.7. Батареи конденсаторов
- •§16.8. Энергия электростатического поля
- •§16.9. Энергия поляризованного диэлектрика
- •Глава 17. Постоянный электрический ток. Законы постоянного тока
- •§17.1. Основные понятия
- •§17.2. Закон Ома в дифференциальной форме
- •§17.3. Закон Ома в интегральной форме для элементарного участка
- •§17.4. Закон Ома для неоднородного участка цепи (II-я форма интегрального закона Ома)
- •§17.5. Закон Ома для однородного участка цепи (I-я форма интегрального закона Ома)
- •§17.6. Закон Ома для простого контура (III-я форма интегрального закона Ома)
- •§17.7. Законы Кирхгофа
- •§17.8. Общий взгляд на интегральный закон Ома.
- •§17.9. Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме
- •§17.10. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
- •Глава 18 .Постоянный электрический ток. Классическая теория электропроводности металлов
- •§18.1. Экспериментальные доказательства электронной проводимости в металлах
- •§18.2. Классическая теория электропроводности металлов (теория Друде-Лоренца)
- •§18.3. Закон Видемана-Франца
- •§18.4. Трудности классической теории электропроводности
- •Глава 19. Магнетизм. Магнитное поле и его источники
- •§19.1. Магнитное поле и его воздействие на движущиеся заряды
- •§19.2. Релятивистская природа магнитного воздействия
- •§19.3. Сила Ампера
- •§19.4. Магнитный момент и воздействие на него магнитного поля
- •§19.5. Магнитное поле движущегося заряда
- •§19.6. Магнитное взаимодействие зарядов
- •§19.7. Закон Био-Савара-Лапласа
- •§19.8. Простейшие примеры применения закона Био-Савара-Лапласа
- •Глава 20. Магнетизм. Интегральные уравнения
- •§20.1. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля
- •§20.2. Работа силы Ампера на перемещении проводника с током в постоянном магнитном поле
- •§20.3. Закон полного тока (теорема Стокса) в вакууме
- •§20.4. Поле тороида
- •Глава 21. Магнетизм. Магнитное поле в веществе
- •§21.1. Орбитальные моменты
- •§21.2. Классический атом в магнитном поле
- •§21.3. Классификация веществ по их магнитным свойствам
- •§21.4. Диамагнетики
- •§21.5. Парамагнетики
- •§21.6. Магнитная восприимчивость
- •§21.7. Закон полного тока в магнетике
- •§21.8. Ферромагнетики
- •§21.9. Особенности намагничивания ферромагнетиков
- •§21.9. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость ферромагнетика
- •Для того, чтобы размагнитить ферромагнетик…
- •Глава 22. Электродинамика. Электромагнитная индукция
- •§22.1. Закон Фарадея и правило Ленца
- •§22.2. Самоиндукция
- •§22.3. Замыкание и размыкание электрической цепи
- •§22.4. Энергия магнитного поля в неферромагнитной изотропной среде
- •Глава 23. Электродинамика. Основы теории максвелла
- •§23.1. Введение
- •§23.2. Сведения из математической теории поля
- •Ротор потенциального поля равен 0.
- •Дивергенция вихревого поля равна 0.
- •§23.3. Система уравнений Максвелла
- •§23.4. Четвертое уравнение Максвелла
- •§23.5. Второе уравнение Максвелла
- •§23.6. Первое уравнение Максвелла
- •§23.7. Третье уравнение Максвелла
- •§23.8. Заключение
§23.2. Сведения из математической теории поля
23.2.1. Операции теории поля
а) Векторный дифференциальный оператор «набла»:
.
Все операции с ним выполняются по формальным правилам действий с векторами.
Например, операция «градиент» над скалярной функцией координат аналогична умножению вектора на скаляр:
б) Операция «дивергенция» над векторным полем аналогична скалярному умножению векторов:
.
в) Операция «ротор» над векторным полем аналогична векторному умножению векторов:
.
Поэтому чисто формально легко доказать, что
так как ;
так как .
Если физический смысл операций «дивергенция» и «ротор» не очень понятен, то, надеемся, он станет понятен при изложении следующих математических теорем. Операция «градиент» подробно разъяснялась ранее, впрочем, она почти и не нужна сейчас.
23.2.2. Теорема Гаусса
Теорема Гаусса сводит поверхностный интеграл по замкнутой поверхности (S) к объемному интегралу по объему (V), охватываемому этой поверхностью.
это точечный источник расходящегося векторного поля или поток вектора через замкнутую поверхность, стянутую в точку. А теорема Гаусса – это всего лишь утверждение того факта, что поток через замкнутую поверхность равен сумме потоков из всех источников, заключенных внутри поверхности.
23.2.3. Теорема Стокса
Теорема Стокса сводит криволинейный интеграл по замкнутому контуру (L), то есть циркуляцию, к поверхностному интегралу по поверхности (S), натянутой на этот контур.
.
это вихрь поля в точке . Иными словами, это вектор, перпендикулярный стянутому в точку контуру, в плоскости которого лежит вектор и вдоль которого он циркулирует (рис.23.1). Его направление соответствует правилу правого винта, а модуль равен циркуляциипо этому контуру, нормированной на площадь поверхности, натянутой на контур. Тогда циркуляция поля по контуру поверхности .
Рис.23.1
Теорема Стокса – это утверждение того, что циркуляция по замкнутому контуру равна сумме циркуляций по всем внутренним областям охваченной поверхности. Рисунок 23.2 иллюстрирует смысл утверждения в самом простом и доходчивом случае: поверхность S состоит из одинаковых площадей с одинаковой циркуляцией и оконтурена периметромL.
Рис.23.2
При суммировании циркуляций контурные интегралы по границам смежных областей взаимно уничтожаются.
23.2.4. Виды векторных полей
Из множества векторных полей выделяются два типа: потенциальные и вихревые.
Любое потенциальное векторное поле порождается операцией «градиент» над определённым скалярным полем. То есть существует такое скалярное поле, что. Но тогда
Ротор потенциального поля равен 0.
Любое вихревое векторное поле порождается операцией «ротор» над определённым векторным полем. То есть существует такое векторное поле, что. Но тогда
Дивергенция вихревого поля равна 0.
§23.3. Система уравнений Максвелла
Запишем сразу всю систему уравнений в традиционном порядке:
Порядок записи максимально подчеркивает симметричность уравнений по отношению к электрическому и магнитному полю. При переходе от электрического к магнитному полю место напряженности электрического поля занимает вектор напряжённости магнитного поля, а вместо электрического смещения (электрической индукции)выступает вектор магнитной индукции. При этом важно помнить, что физические роли электрических и магнитных векторов, носящих одно название,антисимметричны. Напряжённость электрического поля включает в себя влияние, как внешних источников (свободных зарядов), так и самой диэлектрической среды (связанных зарядов). Напряжённость магнитного полявключает в себя влияние только внешних источников (макроскопических токов). Электрическая индукциявключает в себя влияние только внешних источников (свободных зарядов). Магнитная индукциявключает в себя влияние, как внешних источников (макроскопических токов), так и самой среды магнетика (молекулярных токов).
Эту систему необходимо дополнить материальными уравнениями, характеризующими электрические, магнитные и транспортные свойства среды. Для изотропных, несегнетоэлектрических, неферромагнитных и подчиняющихся закону Ома сред:
.
Выводить дифференциальные уравнения будем не в порядке записи, а в порядке возрастания сложности вывода и понимания.