Глава 20. Магнетизм. Интегральные уравнения

§20.1. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля

Магнитным потоком Ф_m называется поток вектора магнитной индукции.

Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного потока является обобщением опытных фактов:

магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен 0.

Это означает, что силовые линии магнитного поля замкнуты, и в природе не существует магнитных зарядов - источников магнитного поля, из которых могли бы исходить силовые линии или на которых они обрывались бы. Источниками магнитного поля являются токи, и силовые линии магнитного поля замыкаются вокруг них.

§20.2. Работа силы Ампера на перемещении проводника с током в постоянном магнитном поле

Рассмотрим элемент с током , ориентированный по току, движущийся со скоростьюв постоянном магнитном поле с индукциейв месте нахождения. На один носитель зарядаq₀ в этом элементе со стороны магнитного поля действует сила, равная

,

где  дрейфовая скорость носителей относительно элемента .

Полная сила, действующая со стороны магнитного поля на совокупность носителей заряда в рассматриваемом элементе с током:

,

где dN  количество носителей в элементе. Тогда

С первым слагаемым мы уже сталкивались. Это  сила Ампера . Последнее слагаемое обозначим, то есть

.

Пусть dt  время, которое один носитель затрачивает на прохождение отрезка движущегося проводника. Тогдапредставляет собой перемещение всех рассматриваемыхdN носителей относительно движущегося проводника. Обозначим элементарное перемещение проводника с током за время dt относительно неподвижного магнитного поля, как . Полное перемещение совокупностиdN носителей относительно источников постоянного магнитного поля в соответствие с классической относительностью перемещения

.

Следовательно, работа магнитной силы на перемещении совокупностиdN носителей

формально раскладывается на 4 слагаемых. Теперь проанализируем ситуацию с направлениями. Очевидно, что , поскольку. Очевидно, что, поскольку (рис.20.1).

Рис.20.1

Значит, из четырёх слагаемых элементарной работы магнитной силы два, и, равны 0. Оказывается, эта работа содержит всего два слагаемых:

.

Рассмотрим эти слагаемые по очереди.

Элементарная работа силы Ампера, действующей на элемент проводника с током

выражается через смешанное произведение трёх векторов, к которому применимо правило циклической перестановки:

Вектор являетсявектором элементарной площади, заметённой элементом при его поступательном движении (рис.20.2, левый).

Рис.20.2

Из правого чертежа видно, что модуль векторного произведения действительно равен величине заметённой площади.

Итак,

,

следовательно, учитывая определение магнитного потока

.

Работа силы Ампера при перемещении проводника с током в магнитном поле равна отрицательному произведению силы тока на заметённый магнитный поток.

Элементарная работа силы

В преобразованиях использовалось обозначение поперечного сечения проводника с током и свойство циклической перестановки смешанного произведения трёх векторов.

Отсюда можно сделать очень важный вывод:



Две составляющие полной магнитной силы одновременно совершают работу, равную по величине и противоположную по знаку. Это значит, что работа полной магнитной силы при движении проводника с током в постоянном магнитном поле всегда равна 0, поскольку при заметании магнитного потока проводником с током происходит обмен энергии.

Если сила Ампера направлена против движения, то она совершает отрицательную работу. Для того чтобы проводник двигался с постоянной скоростью, против тормозящей силы Ампера должна действовать сила со стороны источника механического движения . Энергия источника механического движения, затраченная на работу против силы Ампера должна где-то выделяться. Она выделяется в положительной работе, совершаемой силой, котораядвигает носители заряда и поддерживает ток в проводнике, являясь, таким образом, источником положительной ЭДС. По этой схеме работает преобразователь механической энергии в электрическую, то есть электрогенератор. Цепочка энергетических преобразований электрогенератора выглядит так:

Следовательно, энергетические затраты источника механической энергии электрогенератора

Мощность ЭДС электрогенератора:

,

следовательно,

ЭДС электрогенератора равна скорости заметания магнитного потока.

В противоположном случае сила Ампера сама будет источником движения: её работа пойдёт на увеличение механической энергии проводника или на работу против сил сопротивления. Для поддержания постоянной силы Ампера необходимо поддерживать постоянный ток, протеканию которого будет препятствовать сила . Против неё будет совершена положительная работа сторонних сил внешнего источника ЭДС, которая, таким образом, выделится в виде приращения механической энергии проводника. По этой схеме работает преобразователь электрической энергии в механическую, то естьэлектродвигатель. Цепочка энергетических преобразований электродвигателя выглядит так:

Следовательно, элементарная работа сторонних сил источника тока электродвигателя:

Значит,

.

Механическая мощность двигателя равна мощности источника тока:

Механическая мощность электродвигателя равна произведению силы тока на отрицательную скорость заметания магнитного потока.

До сих пор мы рассматривали дифференциальные соотношения второго порядка малости. Дадим определение: потокосцеплением  называется магнитный поток через поверхность, натянутую на замкнутый контур проводника.

Рассмотрим перемещение замкнутого контура с током I в постоянном по времени магнитном поле произвольной конфигурации. Пусть в результате малого перемещения (возможно со слабым изменением формы) контур перешёл из положения С и С' (рис.20.3).

Рис.20.3

При этом малый элемент контура совершил перемещениеи замёл малую площадку, направленнуювнутрь замкнутой поверхности, состоящей из поверхностей S (натянутой на первоначальный контур), S' (натянутой на контур после перемещения) и dS_бок (полной боковой поверхности, заметённой при перемещении). Вектор направленнаружу по отношению к замкнутой поверхности.

Магнитный поток через элемент боковой поверхности равен отрицательному заметённому магнитному потоку:

Элементарная работа силы Ампера при перемещении элемента :

Полная работа силы Ампера при перемещении всего контура,

,

выражается через магнитный поток, пронизывающий всю боковую поверхность, то есть поверхность, заметённую всем контуром при перемещении из С в С'.

По теореме ОГ для магнитного поля магнитный поток через рассматриваемую замкнутую поверхность должен быть равен 0. С другой стороны он состоит из потокосцепления  через поверхность S, отрицательного потокосцепления -(+d) через поверхность S' (знак «-» связан с направлением вектора внутрь замкнутой поверхности) и магнитного потока через боковую поверхность . Тогда имеем равенство:

.

Значит, работа силы Ампера при малом изменении замкнутого контура



Тогда энергетические соотношения для электродвигателя и генератора можно переписать, используя не заметённый магнитный поток, а изменение потокосцепления, следующим образом.

• Электрогенератор:

; .

В контуре с переменным потокосцеплением возникает ЭДС, равная скорости убывания потокосцепления контура.

• Электродвигатель:

;

При конечном перемещении проводника с током, имеющего конечные размеры, выражения работы силы Ампера через заметённый магнитный поток и, соответственно, через изменение потокосцепления имеют вид: