Глава 17. Постоянный электрический ток. Законы постоянного тока

§17.1. Основные понятия

Электрическим током, как правило, мы будем называть упорядоченное движение макроскопического количества несвязанного заряда. При этом в теории электрического тока понятия несвязанного и свободного заряда совпадают. Отсюда ясно, что ток может иметь место только в проводниках. Проводниками являются:

• металлы (носители несвязанного заряда  электроны)

• электролиты (носители  ионы, как положительные, так и отрицательные)

• плазма (носители  ионы и электроны).

Электрический ток характеризуется, прежде всего, вектором плотности тока, который по определению выражается как

.

Здесь п  концентрация носителей несвязанного заряда в данной точке проводника; q₀  заряд носителя;  скорость упорядоченного движения носителей или дрейфовая скорость в данной точке проводника. Поскольку, заряд носителя может быть как положительным, так и отрицательным, то вектор плотности тока может быть направлен как по дрейфовой скорости, так и против.

Вторая базовая характеристика электрического тока называется силой тока.

.

Здесь S  произвольная поверхность внутри проводника. То есть сила тока через произвольную поверхность внутри проводника  это поток вектора плотности тока через эту поверхность.

Рассмотрим подробнее скалярное произведение , гдеj_п  проекция вектора на направление. Умножим его на элементарный промежуток времени, в течение которого заряд протекает через поверхность:

,

где  объём проводника, занятый носителями, которые успеют пересечь поверхность dS за время dt (рис.17.1). Тогда  количество таких носителей, а  количество заряда, связанное с этими носителями. Следовательно,

Рис.17.1



 количество несвязанного заряда, пересекающего элементарную поверхность dS в единицу времени, или элементарный поток заряда. Отсюда понятно, что

.

Таким образом, можно дать другое определение силы тока: это поток заряда через данную поверхность или количество заряда, пересекающее её в одну сторону за единицу времени.

Электрический заряд не исчезает и не появляется, следовательно, если S  замкнутая поверхность, то количество заряда, ушедшее за пределы S, равно убыли заряда внутри неё:

.

Это уравнение называется уравнением неразрывности. В случае постоянного тока заряды нигде не накапливаются и не убывают с течением времени. Значит, при постоянном токе

.

Поскольку, боковые стенки проводника, являющегося участком цепи постоянного тока, не пересекаются зарядами, предыдущее равенство выполнится для любого участка цепи: поток заряда, втекающего в участок через один его торец, будет равен потоку заряда, вытекающего через другой. Следовательно, в цепи постоянного тока сила тока во всех поперечных сечениях цепи одинакова. Поперечным сечением называется поверхность, полностью перегораживающая проводник с током в каждой точке которой вектор плотности тока перпендикулярен поверхности.

Единица измерения силы тока в СИ называется ампером:

.

§17.2. Закон Ома в дифференциальной форме

Исходя из классических представлений, можно сказать, что в нормальных проводниках на носитель тока q₀ действует сила сопротивления, направленная против дрейфовой скорости. Следовательно, для поддержания постоянной дрейфовой скорости (что обязательно в случае постоянного тока вдоль по проводнику, имеющему неизменное поперечное сечение) необходимо наличие движущей силы. На эту роль не может претендовать исключительно электростатическая сила , поскольку действие кулоновских сил направлено навыравнивание потенциала по всему проводнику и на исчезновение напряжённости в проводнике. Поэтому, постоянный ток кроме электростатических сил должны поддерживать движущие силы, имеющие неэлектростатическую природу, которые носят обобщённое название сторонних сил. Итак, динамику носителя тока в проводнике можно описать, подразделяя все силы на три класса: сопротивления, электростатических и сторонних. Силы первого класса всегда направлены против дрейфовой скорости, силы двух остальных классов могут быть направлены как против, так и по дрейфовой скорости.

В общем случае движущей силой является сумма

,

где введён вектор напряжённости сторонних сил и вектор напряжённости движущих сил. Постоянство дрейфовой скорости в классическом описании означает, что касательная составляющая движущей силы уравновешивается силой сопротивления. Следовательно, при постоянном токе

.

Но, во-первых, в теории постоянного тока всех интересует работа различных сил над носителем тока, а нормальные составляющие работы не производят. Во-вторых, дрейфовая скорость носителей невелика, а радиусы кривизн траекторий носителей достаточно большие. Значит, нормальные ускорения носителей малы, следовательно, можно считать пренебрежимо малыми нормальные составляющие движущих сил. Т.е

В наиболее распространённых случаях сила сопротивления пропорциональна скорости. Коэффициент пропорциональности запишем в виде , где  характеристика проводящей среды, называемая удельным сопротивлением.

.

Подставляя во II-й закон Ньютона





Это и есть закон Ома в дифференциальной форме:

внутри проводника стационарное векторное поле напряжённости порождает векторное поле плотности тока.

Ещё раз подчеркнём, что закон Ома приложим к средам, в которых сила сопротивления, действующая на носитель, пропорциональна его дрейфовой скорости.