§15.3. Полярные диэлектрики

В противовес неполярным, молекулы полярных диэлектриков обладают дипольным моментом в отсутствие приложенного электрического поля и могут рассматриваться как жёсткие структуры, чья деформация под действием внешних факторов пренебрежимо мала по сравнению с исходными размерами. Подстройка таких диполей под прилагаемое поле происходит ориентационным способом.

Рис.15.2

Из рисунка видно 15.2, что если молекулярный дипольный момент ориентирован по отношению к прилагаемому полю под углом (), то на него действует вращающий момент сил, направленный науменьшение угла. Суммарная сила, приложенная к диполю, равна 0. Следовательно, под действием поля происходит вращение дипольного момента вокруг неподвижного центра масс молекулы.

Угол  на рисунке образован вращением по часовой стрелке, следовательно, по правилу правого винта его направление положительно по оси z. Направление вращающего момента отрицательно. Проекция вращающего момента на ось z:

.

Расстояния l₊ и l_- от центра масс молекулы до точек приложения сил в сумме, очевидно, дадут плечо диполяl. Следовательно,

Из механики вращательного движения Вам известно, что элементарная работа момента сил на повороте d вокруг оси z:

.

С другой стороны, энергия ориентации является потенциальной, значит,

.

Выбор начала отсчёта потенциальной энергии произволен. Для простоты выражения выбирают . Тогда

.

Если =0, то М=0 и диполь имеет устойчиво равновесную ориентацию. Это соответствует минимальной потенциальной энергии диполя в электрическом поле. Очевидно, что при = потенциальная энергия диполя максимальна (неустойчивая равновесная конфигурация).

Рис.15.3

§15.4. Поляризация изотропного диэлектрика

Поляризацией (поляризованностью) диэлектрика называется дипольный момент его единицы объёма:

.

Здесь dV  элементарный с макроскопической точки зрения объём диэлектрика, в котором содержится NN_A молекулярных дипольных моментов , создающих суммарный дипольный момент. Очевидно, что

.

Выражение, стоящее в скобках по определению является средним молекулярным дипольным моментом . Тогда

,

где п − концентрация молекулярных дипольных моментов.

В случае неполярных диэлектриков, состоящих из одинаковых молекул, все молекулярные диполи одинаковы, следовательно,

.

Отсюда, выражение поляризации неполярного диэлектрика:

.

Коэффициент пропорциональности между поляризацией и называется диэлектрической восприимчивостью и обозначается греческой буквой :

.

Как следует из сказанного, в неполярных диэлектриках

.

Подчеркнём, что поляризация прямо пропорциональна напряжённости полного электрического поля внутри диэлектрика.

Для вычисления полярного диэлектрика необходимо опереться на положениястатистической физики, так как именно она позволяет получать макроскопические величины как результат усреднения микроскопической величины по огромному количеству микрообъектов. Подробным описанием и обоснованием методов стат.физики мы займёмся во втором томе. Сейчас же мы просто проделаем статистическое усреднение без его обоснования.

Прежде всего, отметим, что среднюю величину, кроме уже указанного выражения, можно получить по теории вероятностей следующим образом:

,

где j − номер возможного значения молекулярного дипольного момента, _j - вероятность реализации этой величины.

В случае, если векторы молекулярных дипольных моментов непрерывно распределены по области , суммирование по дискретным вероятностям заменяется интегрированием:

.

Здесь − элементарный объём пространства векторов дипольных моментов;− вероятность того, что реализуется дипольный момент в областивблизи вектора, а функцияназываетсяфункцией распределения или плотностью вероятности.

Основным законом статистической физики равновесных термодинамических состояний (то есть состояний макросистем с определённой температурой) является распределение Больцмана, согласно которому вероятность реализации того или иного микросостояния определяется механической энергией этого состояния W, так как функция распределения Больцмана имеет вид:

.

Для краткости последний множитель, который называется энергетической плотностью состояний, мы будем обозначать .Т − абсолютная температура системы; k − постоянная Больцмана ();Z − величина, характеризующая данную статистическую систему, называется статистической суммой и определяется следующим образом:

Наша микросистема − это дипольный момент в электрическом поле. А макроскопический диэлектрик будем рассматривать как совокупность независимых друг от друга одинаковых по своим свойствам электрических диполей, пребывающих в состоянии непрерывного теплового «верчения». Из-за лёгкости электронного облака, «развевающегося» вокруг неподвижного положительного заряда молекулы, кинетическая энергия вращения пренебрежимо мала по сравнению с потенциальной. Следовательно, . Статистическую сумму будем считать в приближении высоких температур и слабых электрических полей, то есть при условии. Тогда

.

Энергетическая плотность состояний в нашем случае превращается в выражение

.

Теперь можно легко подсчитать статистическую сумму:

Последний интеграл, очевидно, равен 0. Следовательно, статистическая сумма различных ориентаций полярного диэлектрика

.

Теперь мы можем легко найти средний дипольный момент . Очевидно, что вероятности реализации углов и -, отсчитываемых от направления напряжённости электрического поля одинаковы.

Рис.15.4

Следовательно, направлен по направлению вектора :. И при усреднении нас будет интересовать только средняя проекция дипольного момента на ось:. Значит,.

Очевидно, что первый интеграл будет равен 0. Тогда

Подставляя в выражение для , получаем:

.

Теперь, подставляя в выражение поляризации,:

.

Запишем кратко:

Итак, для полярного диэлектрика в предположении независимых дипольных моментов, слабых полей и высоких температур диэлектрическая восприимчивость:

Изотропным называется диэлектрик, диэлектрическая восприимчивость которого представляет собой скаляр. Значит, в изотропных диэлектриках поляризация всегда направлена в одну сторону с напряжённостью. В анизотропных диэлектриках восприимчивость представляет собой тензор. Их рассмотрение выходит за пределы нашего курса.