П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

§ 2.2. Решение общей системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными:

отличающаяся от матрицы наличием дополнительного столбца сво-

бодных членов, называется расширенной матрицей системы (2.6). Система (2.6) называется совместной, если она имеет хотя бы

одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Т е о р е м а 2.2 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений (2.6) совместна тогда и только тогда, когда

rang A = rang A*.

Пусть rang A = rang A* = r, т. е. система (2.6) совместна. Не те-

ряя общности, предположим, что базисный минор основной матрицы находится в ее левом верхнем углу (такого расположения базисного минора можно добиться посредством перестановки в системе (2.6) уравнений и неизвестных). Тогда первые строк как основной, так и

расширенной матриц являются базисными строками, и по теореме о базисном миноре (см. теорему 1.1) все строки расширенной матрицы, начиная с ( +1)-й строки, линейно выражаются через первые строк

этой матрицы. Иными словами, всякое решение первых уравнений системы (2.6) будет решением и для всех последующих уравнений

Исследовать совместность и решить системы уравнений.

1 + 2 + 3 = 1,

2.30.1 + 2 + 2 3 = 1,1 + 2 + 3 3 = 2.

1 + 2 + 3 = 1,

2.31.1 + 2 + 2 3 = 1,2 1 + 2 2 + 4 3 = 2.

1 + 2 2 − 4 3 = 1,

2.32.2 1 + 2 − 5 3 = −1,

1 − 2 − 3 = −2.

Р е ш е н и е. Исключим сначала 1 из второго и третьего уравнений. Для этого умножим первое уравнение на (−3) и сложим со вто-

рым, затем умножим первое уравнение на (−4) и сложим с третьим.

Получим

1 + 2 − 3 = 0,

− 2 + 4 3 = 5,

− 5 2 + 9 3 = 3.

Теперь исключим переменную 2 из последнего уравнения. Умножим второе уравнение на (−5) и сложим с третьим:

− 11 3 = −22.

Полученная система равносильна исходной и из нее легко находится решение системы: 1 = −1, 2 = 3, 3 = 2. 2

П р и м е р 2.4. Решить систему методом Гаусса:

1 − 3 2 − 3 + 2 4 = −1.

Ре ш е н и е. Исключив из второго и третьего уравнений неизвест- ную 1, получим

1 + 2 2 + 3 3 − 4 = 4, 5 2 + 4 3 − 3 4 = 5,

5 2 + 4 3 − 3 4 = 5.

Отбросим последнее уравнение и перепишем эту систему в виде

{

Осуществляя обратный ход метода Гаусса, находим все решения исходной системы:

Метод Гаусса основан на приведении расширенной матрицы системы (2.6) к ступенчатому виду. Следовательно, если расширенную

1 − 2 + 3 3 = 9,

2.42.3 1 − 5 2 + 3 = −4,

4 1 − 7 2 + 3 = 5.

1 + 5 2 + 4 3 = 1,

2.43.2 1 + 10 2 + 8 3 = 3,3 1 + 15 2 + 12 3 = 5.

2.44.1 + 2 + 5 3 = −7,

2 1 + 3 2 − 3 3 = 14.

2 1 + 2 − 3 = 5,

2.46.1 − 2 2 + 2 3 = −5,

7 1 + 2 − 3 = 10.

1 − 2 + 2 3 = 3,

2.49.2 1 − 2 2 + 4 3 = 8,3 1 − 3 2 + 6 3 = 6.

2.50.1 + 2 2 − 6 3 = −1,

− 1 + 5 2 − 15 3 = 8.

{

1 + 2 − 3 = 2,

2.51. 2 1 + 2 2 − 3 = 5.

1 − 2 + 2 3 − 3 4 = 1,

1 + 4 2 − 3 − 2 4 = −2,

2.56.1 − 4 2 + 3 3 − 2 4 = −2,

1 − 8 2 + 5 3 − 2 4 = −2.

§ 2.4. Однородные системы линейных уравнений

Пусть задана однородная система линейных уравнений

Однородная система (2.10) всегда совместна, поскольку она всегда обладает так называемым тривиальным или нулевым решением 1 = 0,2 = 0, . . . , = 0. Если однородная система (2.10), кроме указан-

ного тривиального решения, имеет и другие решения, то говорят, что эта однородная система нетривиально совместна .

Т е о р е м а 2.3. Однородная система (2.10) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицыменьше числа ее столбцов: rang < (при = это условие

означает det = 0).

Решения нетривиально совместной однородной системы (2.10) обладают линейными свойствами

Решения однородной системы (2.10)

называются фундаментальной системой решений , если они (строки (2.11)) линейно независимы и любое решение системы (2.10) является

линейной комбинацией этих решений.

Если (1), (2), . . . , ( ) — фундаментальная система решений однородной системы (2.10), то