П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике
.pdf
§ 5.3. Угол между двумя прямыми |
111 |
|
|
5.36. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
0(1, 1)
а) параллельно прямой 3 − 2 + 6 = 0,
б) перпендикулярно к прямой 3 − 2 = 1.
5.37.Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (6, 2) на прямую − 4 − 7 = 0.
5.38.Написать уравнение прямой, проходящей через точку(−4, 3) и параллельной прямой + 2 + 3 = 0.
5.39.Написать уравнение прямой, проходящей через точку(−1, 1) и перпендикулярной другой прямой 2 + 3 = 6.
5.40.Найти уравнение прямой, содержащей точку (6, −1)
ипараллельной прямой −5 = 1.
5.41.Даны точки (1, 2) и (4, 0). Через середину отрезкапровести перпендикуляр к прямой .
5.42.Написать уравнение прямой, проходящей через точку (−1, 1) и параллельной прямой, проходящей через точки
0(−2, 6) и 1(2, 1).
5.43.В треугольнике с вершинами (−2, 0), (2, 6) и (4, 2) проведена высота . Написать ее уравнение.
5.44.В точках пересечения прямой 2 − 5 − 10 = 0 с ося-
ми координат восстановлены перпендикуляры к этой прямой. Написать их уравнения.
5.45.Найти координаты точки пересечения прямых 2 + +3 + 1 = 0 и 6 − = 15.
5.46.Найти координаты точки пересечения прямых 2 + +3 − 5 = 0 и 3 − + 6 = 0 и написать уравнение прямой,
проходящей через эту точку:
а) параллельно прямой 2 + 4 − 8 = 0,
б) перпендикулярно прямой 2 + 4 − 8 = 0.
5.47. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
112 |
Глава 5. Прямые линии на плоскости |
|
|
пересечения прямых 2 + 3 − 12 = 0 и − − 1 = 0: а) параллельно прямой 2 + 3 − 6 = 0, б) перпендикулярно прямой 2 + 3 − 6 = 0.
5.48. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2 − 3 + 5 = 0 и 3 + − 7 = 0:
а) параллельно прямой = 2 , б) перпендикулярно прямой = 2 .
5.49.Дан треугольник с вершинами (−2, 0), (2, 4) и
(4, 0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы , высоты и найти длину медианы .
5.50.В треугольнике даны: уравнение стороны : 3 + 2 = 12, уравнение высоты : + 2 = 4, уравнение высоты : 4 + = 6, где — точка пересечения высот. Написать уравнения сторон , и высоты .
5.51.Написать уравнения сторон треугольника , зная
координаты его вершины (0, 2) и уравнения высот :+ = 4 и : = 2 , где — точка пересечения высот.
Г л а в а 6
Плоскости в пространстве
§ 6.1. Уравнения плоскости в пространстве
Пусть 0( 0, 0, 0) — произвольная точка, а = ( 1, 2, 3) и
= ( 1, 2, 3) — исходящие из этой точки произвольные неколлинеарные векторы плоскости Π (рис. 6.1).
Рис. 6.1
Тогда уравнение плоскости Π имеет следующий вид:
|
1 |
2 |
3 |
= 0. |
(6.1) |
||||||
|
− |
0 |
− |
0 |
− |
0 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 6.1. Найти уравнение плоскости, проходящей через не лежащие на одной прямой три точки
0( 0, 0, 0), 1( 1, 1, 1), 2( 2, 2, 2).
Р е ш е н и е. Нетрудно заметить, что искомая плоскость прохо-
−−−−→
дит через точку 0( 0, 0, 0) и неколлинеарные векторы 0 1 =
−−−−→
= ( 1 − 0, 1 − 0, 1 − 0) и 0 2 = ( 2 − 0, 2 − 0, 2 − 0). Значит,
114 Глава 6. Плоскости в пространстве
ее уравнение, согласно (6.1), имеет вид
|
1 |
− 00 |
1 |
− 00 |
1 |
− |
00 |
= 0. |
2 |
(6.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− |
|
2 |
− |
0 |
|
2 |
− |
|
0 |
|
|
|||
|
2 |
− |
0 |
|
− |
|
− |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение плоскости Π, проходящей через точку 0( 0, 0, 0) перпендикулярно вектору = { , , } (рис. 6.2), имеет следующий
вид: |
( − 0) + ( − 0) + ( − 0) = 0. |
|
|
(6.3) |
|
|
Общее уравнение плоскости , |
получаемое |
|
из (6.3), имеет вид |
|
|
+ + + = 0. |
(6.4) |
|
Вектор = { , , } называется нормальным век- |
|
|
тором этой плоскости. |
|
Рис. 6.2 |
П р и м е р 6.2. Составить уравнение плоско- |
|
|
сти, проходящей через точку (1, 1, 1) перпендику- |
|
лярно вектору = (2, 2, 3).
Р е ш е н и е. По формуле (6.3) искомое уравнение плоскости имеет вид: 2( − 1) + 2( − 1) + 3( − 1) = 0, или 2 + 2 + 3 − 7 = 0. 2
6.1. Написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку 0 параллельно векторам 1 и 2, если
а) 0(2, 0, −1), 1 = (1, 1, 0) и 2 = (−2, 0, 1), б) 0(2, −1, −4), 1 = (0, −1, −1) и 2 = (1, 2, 0), в) 0(4, 2, 0), 1 = (3, 1, 0) и 2 = (0, 0, 1).
6.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через заданные точки 1, 2 и 3, если
а) 1(1, 1, 1), 2(2, 1, −1) и 3(0, 0, 2),
б) 1(1, 1, 0), 2(2, 0, −3) и 3(−1, 0, 0),
в) 1(3, 1, 0), 2(−2, 0, −2) и 3(1, 2, 2).
§ 6.2. Расстояние от точки до плоскости |
115 |
|
|
6.3. Точка (2, −1, −1) служит основанием перпендикуля-
ра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
6.4.Написать уравнение плоскости, проходящей через осьи точку (4, 0, 3).
6.5.Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки (1, 0, 1) и (0, 1, 5).
6.6.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2, 3, 4) и перпендикулярной вектору = (3, 4, 1).
6.7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2, 2, −2) и параллельной плоскости − 2 − 3 = 0.
6.8.Даны точки (0, −1, 3) и (1, 3, 5). Составить уравне-
ние плоскости, проходящей через точку перпендикулярно век-
−−→
тору .
6.9.Найти уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки (2, 3, −1) и (−1, 2, 4).
6.10.Найти уравнение плоскости, параллельной плоскостии проходящей через точку (1, 2, −4).
6.11.Составить уравнение плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через точку (3, 7, −1).
6.12.Найти уравнение плоскости, проходящей через ось
иточку (2, 1, 3).
§ 6.2. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки 0( 0, 0, 0) до плоскости, заданной общим уравнением
+ + + = 0,
вычисляется по формуле:
= |
| 0 + 0 + 0 + | |
. |
(6.5) |
||
|
|
|
|||
|
√ 2 + 2 + 2 |
|
|||
116 |
Глава 6. Плоскости в пространстве |
|
|
П р и м е р 6.3. |
Даны плоскость + 2 + 2 − 8 = 0 и точка |
0(1, 1, 1). Найти |
расстояние от точки 0 до данной плоскости. |
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой (6.5):
= |
|1 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 − 8| |
= 1. 2 |
||
|
|
|
||
|
√12 + 22 + 22 |
|||
6.13.Найти расстояние от плоскости − 2 − 2 + 6 = 0 до начала координат.
6.14.Найти расстояние от точки (2, 3, −1) до плоскости
7 − 6 − 6 + 42 = 0.
6.15.Найти расстояние между параллельными плоскостями
5 + 3 − 4 + 15 = 0 и 15 + 9 − 12 − 5 = 0.
6.16.Найти сумму координат точки пересечения оси с плоскостью 2 + 3 + − 3 = 0.
6.17.Найти общее уравнение плоскости, содержащей точку(1, −5, 2) и параллельной плоскости 3 − 10 + − 2 = 0.
6.18.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (−1, −2, 0) и (1, 1, 2) и перпендикулярной плоскости
+ 2 + 2 − 4 = 0.
6.19.Найти расстояние от точки (4, 3, 0) до плоскости, проходящей через точки (1, 3, 0), (4, −1, 2) и (3, 0, 1).
6.20.Найти расстояние от точки (−2, 3, 1) до плоскости
3 − 2 + 3 + 42 = 0.
6.21.Найти расстояние от точки (4, 3, 1) до параллельных плоскостей 5 + 3 − 4 + 15 = 0 и 15 + 9 − 12 − 15 = 0.
6.22. На оси найти точку, отстоящую от плоскости
+ 2 − 2 − 2 = 0 на расстоянии = 4.
6.23.На оси найти точку, равноудаленную от точки
(1, −2, 0) и плоскости 3 − 2 + 6 − 9 = 0.
6.24.На оси найти точку, равноудаленную от двух плоскостей 12 − 16 + 15 + 1 = 0 и 2 + 2 − − 1 = 0.
§ 6.3. Угол между двумя плоскостями |
117 |
|
|
§ 6.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности
двух плоскостей
Пусть плоскости Π1 и Π2 соответственно заданы общими уравнениями:
|
|
|
|
1 + 1 + 1 + 1 = 0 |
(6.6) |
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2 + 2 + 2 = 0. |
(6.7) |
|||||
Углом между двумя плоскостями |
Π1 и |
|
||||||||
Π2 (рис. 6.3) называется угол между их нор- |
|
|||||||||
мальными векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 = ( 1, 1, 1) |
и 2 = ( 2, 2, 2), |
|
||||||||
и вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|
|||||
cos = |
|
|
1 2 |
+ 1 2 |
+ 1 2 |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
√ |
1 |
1 |
1 · √ |
2 |
2 |
(6.8) |
Рис. 6.3 |
||
|
|
2 |
+ 2 + 2 |
2 |
+ 2 + 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
П р и м е р 6.4. Определить угол между плоскостями 4 − 5 + +7 − 4 = 0 и + 5 + 8 + 1 = 0.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой (6.8):
cos = |
|
|
|
|
4 · 1 − 5 · 5 + 7 · 8 |
= |
35 |
= |
7 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
√42 + 52 + 72√12 + 52 + 82 |
|
90 |
18 |
|
|||||||
Значит, = arccos |
7 |
|
|
≈ 70 . 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Условие параллельности плоскостей , заданных общими уравнениями (6.6) и (6.7):
1 = 1 = 1 .2 2 2
Условие перпендикулярности плоскостей , заданных общими уравнениями (6.6) и (6.7):
1 2 + 1 2 + 1 2 = 0.
118Глава 6. Плоскости в пространстве
6.25.Найти угол между плоскостями − 2 + 2 − 8 = 0 и
+ − 12 = 0.
6.26.Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
а) 2 − 3 + 5 − 4 = 0 и 2 − 3 + 5 + 4 = 0,
б) 4 + 2 − 4 − 5 = 0 и 2 + + 2 − 5 = 0.
6.27. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
а) 3 − − 2 − 4 = 0 и + 9 − 3 + 4 = 0,
б) 2 + 3 − − 5 = 0 и − − − 5 = 0,
в) 2 − 5 + − 4 = 0 и + 2 + 4 = 0.
6.28. Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2 − 2 − − 3 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии
= 5.
6.29.Через точку (2, 3, −1) провести плоскость, параллельную плоскости 2 − 3 + 5 − 4 = 0.
6.30.Через точки (1, 2, 3) и (−2, −1, 3) провести плоскость, перпендикулярную плоскости + 4 − 2 + 5 = 0.
6.31. Найти острый угол между двумя плоскостями
5 − 3 + 4 − 4 = 0 и 3 − 4 − 2 + 5 = 0.
Г л а в а 7
Кривые второго порядка
§ 7.1. Эллипс
Геометрическое место всех точек плоскости, координаты которых в некоторой прямоугольной системе координат удовлетворяют
уравнению
2 |
|
2 |
|
|
|
+ |
|
= 1, |
(7.1) |
2 |
2 |
|||
где > > 0, называется эллипсом.
Система координат , в которой уравнение эллипса имеет
вид (7.1), называется канонической (для этого эллипса), а само уравнение (7.1) — каноническим уравнением эллипса.
Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 7.1.
Число называется большой полуосью, а число — малой полу-
осью |
|
|
(± , 0) и (0, ± ) называются вершинами |
|
на- |
|
|
эллипса. Точки |
|
|
эллипса. |
||
|
называется центром эллипса. Число = √ |
|
|
|||
Точка (0, 0) |
2 − 2 |
|
||||
зывается линейным эксцентриситетом эллипса. Точки 1 |
= (− , 0) |
|||||
и 2 = ( , 0) называются фокусами эллипса (рис. 7.1).
|
|
Рис. 7.1 |
|
|
|
|
Число 2 называется фокусным |
расстоянием эллипса. Число |
|||
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
называется эксцентриситетом |
эллипса. Число = |
|
называ- |
|
|
||||
120 |
Глава 7. Кривые второго порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
ется фокальным параметром эллипса. Прямые = ± |
|
называются |
||
|
|
|||
|
||||
директрисами эллипса.
Эллипс (7.1) является геометрическим местом точек, сумма расстояний которых до фокусов равна 2 . Это свойство эллипса на-
зывается его фокальным свойством.
При = уравнение эллипса (7.1) принимает вид |
|
2 + 2 = 2, |
(7.2) |
являющееся, очевидно, уравнением окружности радиуса с центром в начале координат (0, 0). Итак, окружность является частным слу-
чаем эллипса.
Уравнение окружности с центром в точке 0( 0, 0) и радиусом
имеет вид: |
|
( − 0)2 + ( − 0)2 = 2. |
(7.3) |
Пр и м е р 7.1. Построить эллипс 2 +4 2 = 16. Найти его фокусы
иэксцентриситет.
Р е ш е н и е. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду (для этого разделим обе части уравнения на 16):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
42 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √ |
|
= |
|||||
|
Следовательно, полуоси = 4, |
= 2. Тогда |
2 − 2 |
|||||||||||||||||||||||
= √ |
16 − 4 |
= 2√ |
3 |
и, следовательно, фокусами данного элипса будут: |
||||||||||||||||||||||
1(−2√ |
3 |
, 0) и 2(2√ |
3 |
, 0). |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Найдем эксцентриситет: = |
|
= |
2 |
3 |
= |
3 |
. 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
П р и м е р 7.2. Построить окружность 2 + 2 − 4 + 2 − 4 = 0.
Р е ш е н и е. Чтобы построить окружность, необходимо знать ее центр и радиус.
Приведем наше уравнение к виду (7.3), выделив полные квадраты: 2 − 4 + 4 − 4 + 2 + 2 + 1 − 1 − 4 = 0, или
( − 2)2 + ( + 1)2 = 32.
Итак, имеем окружность с центром в точке 0(2, −1) и радиусом
= 3. 2
7.1.Построить эллипс 3 2 + 16 2 = 192. Найти: