П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

3 . Оценка малых приращений функции.

Для подсчета малых приращений дифференцируемой функции

(ср. с формулой (12.1)). При этом абсолютная погрешность вычисле-

тельную погрешности, которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом.

Найти дифференциалы, приращения, абсолютную и относительную погрешности для функций.

Найти приближенные значения с помощью дифференциала.

= ( ) (если, конечно, он существует) называется -м дифференциалом или дифференциалом -го порядка этой функции (в точке

( , )) и обозначается символом или ( ):

Дифференциалы порядка выше первого называются дифференциалами высших порядков .

Если является независимой переменной , то дифференциал -го порядка функции = ( ) вычисляется по формуле

Если = ( ) является функцией некоторой новой переменной, то дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают

свойством инвариантности формы , т. е. вычисляются по формуле, отличной от формулы (12.4).

Найти дифференциалы второго порядка указанных функций.

12.54. Доказать, что второй дифференциал сложной функции = ( ), если — зависимая переменная, вычисляется по формуле 2 = ′′( ) 2 + ′( ) 2 .

Г л а в а 13

Основные теоремы дифференциального исчисления

§ 13.1. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа

1 . Теорема Ролля. Пусть функция = ( ) определена и непрерывна на отрезке [ , ], дифференцируема на интервале ( , ) и на концах отрезка принимает равные значения: ( ) = ( ). Тогда на интервале ( , ) существует хотя бы одна точка , в которой

Из этой теоремы в случае ( ) = ( ) = 0 следует, что между дву-

мя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

2 . Теорема Коши. Пусть функции ( ) и ( ) определены и

непрерывны на отрезке [ , ], дифференцируемы на интервале ( , ) и′( ) ̸= 0 для всех ( , ). Тогда существует такая точка ( , ), что выполняется равенство

(13.2)

= ( ) непрерывна на отрезке [ , ] и дифференцируема на интервале ( , ). Тогда существует такая точка ( , ), что выполняется равенство

( ) = 2 − 4 + 3 находится корень ее производной.

Ре ш е н и е. Решив квадратное уравнение 2 −4 +3 = 0, находим корни 1 = 1, 2 = 3.

Теперь вычислим производную данной функции и найдем ее корни: ′( ) = ( 2 − 4 + 3)′ = 2 − 4, 2 − 4 = 0, = 2.

Итак, 2 (1, 3), т. е. корень производной находится между корнями функции. 2

П р и м е р 13.2. Показать, что уравнение 3 + 3 − 6 = 0 имеет только один действительный корень.

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию ( ) = 3 + 3 − 6. Она непрерывна на (−∞, +∞) и имеет производную ′( ) = 3 2 + 3 = 3( 2 + 1). Очевидно, что ′( ) ̸= 0 при любых действительных значениях . Но

тогда наше уравнение может иметь не более одного действительного корня, так как если бы оно имело, например, два корня 1 и 2, то

( 1) = ( 2) = 0, и по теореме Ролля между 1 и 2 нашлась бы такая точка , что ′( ) = 0, что невозможно.

Существование одного действительного корня следует из того, что многочлен ( ) нечетной степени ( ( ) → −∞ при → −∞ и

( ) → +∞ при → +∞, следовательно, для данной непрерывной

функции должно существовать действительное значение, при котором

( ) = 0). 2

Р е ш е н и е. Проверим, удовлетворяет ли данная функция услови-

√

ям указанных теорем. Легко видеть, что ( ) = 2 − 3 2 непрерывна в каждой точке числовой оси, следовательно, и на отрезке [−1, 1]. На концах этого отрезка значения функции совпадают: (−1) = (1) = 1.

ет в точке = 0. Но эта точка внутренняя для рассматриваемого отрезка [−1, 1]. Следовательно, условие существования производной на (−1, 1), требуемое в теоремах Ролля и Лагранжа, не выполняется. Итак, указанные теоремы к данной функции на отрезке [−1, 1] неприменимы. 2

188Глава 13. Основные теоремы дифференциального исчисления

13.1.Проверить, что между корнями функции ( ) = 2− −3 + 2 находится корень ее производной.

13.2.Проверить, что между корнями функции ( ) = 2 2− −8 + 6 находится корень ее производной.

13.3.Доказать с помощью теоремы Ролля, что уравнение4 − 4 − 1 = 0 не может иметь более двух действительных

корней.

√

13.4. Функция ( ) = 1 − 5 2 обращается в нуль при

1 = −1, 2 = 1, но тем не менее ′( ) ̸= 0 при (−1, 1). Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

13.5.В какой точке касательная к параболе = 2 парал- лельна хорде, соединяющей точки (−1, 1) и (3, 9)?

13.6.На кривой = 2 + 3 + 1 найти точку, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки (−1, −1)

и(1, 5).

13.7.На кривой = 3 найти точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки (−1, −1) и (2, 8).

13.8.В какой точке касательная к кривой = 4 − 2 парал- лельна хорде, соединяющей точки (−2, 0) и (1, 3)? Пояснить

графически.

13.9. Написать формулу Лагранжа для функции ( ) = 2 на отрезке [ , ] и найти .

( ) = на отрезке [1, 4] и найти .

13.11.Написать формулу Лагранжа для функции

( ) = 3 + 3 2 + 6 на отрезке [1, 2] и найти .

13.12.Написать формулу Лагранжа и найти для функций: а) ( ) = arctg на отрезке [0, 1],

б) ( ) = arcsin на отрезке [0, 1], в) ( ) = ln на отрезке [1, 2].

13.13.Используя теорему Лагранжа, доказать справедливость неравенства |sin − sin | 6 | − |.

13.14.Написать формулу Коши для функций ( ) = 3 и( ) = 2 на отрезке [ , ] и найти .

13.15.Объяснить, почему не верна теорема Коши для функций ( ) = 2 и ( ) = 3 на отрезке [−1, 1].

13.16.Написать формулу Коши и найти для функций:

§ 13.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

1 . Неопределенности вида 00 и ∞∞. Говорят, что отношение

( )

двух функций ( ) представляет собой при → 0 неопределенность