Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

355

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3917 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

§ 10.3. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва	161

Р е ш е н и е. Умножим и разделим данное выражение на сопря-

женное: √

√

. Получим

(

− 2 − 1 +

− 7 + 3)

lim

( 2 − 2 − 1) − ( 2

− 7 + 3)

→

√ 2

− 7 + 3)

∞ ( − 2 − 1 +

lim

5 − 4

→

√

− 2 − 1 +

√

− 7 + 3)

∞ (

Далее, числитель и знаменатель разделим на и, учитывая непре-

√

рывность функции = , перейдем к пределу под знаком корня:

5 −

lim

→

∞√1 −

−

2 + √1 −

+ 2

П р и м е р 10.8. Найти точки разрыва функции =

− 25

− 5

Р е ш е н и е. В точке = 5 функция не определена. Если −5 ̸= 0,

то =

2 − 25

( − 5)( + 5)

= +5. Следовательно, lim

2 − 25

− 5

→5

− 5

lim ( + 5) = 10.

→5

Таким образом, при = 5 функция имеет устранимый разрыв: его можно устранить, если принять (5) = 10. В этом случае график функции есть прямая = +5. График исходной функции отличается от графика этой прямой тем, что точка (5, 10) «выколота». 2

10.65.Доказать, что при → 0 бесконечно малые функции

( ) = 2 − и ( ) = sin 2 sin будут эквивалентными.

10.66.Доказать, что при → 1 бесконечно малые функции

( ) = 11 −+ и ( ) = 1 − √ будут эквивалентными.

162 Глава 10. Предел и непрерывность функции

Вычислить пределы, пользуясь непрерывностью элементарных функций и свойствами предела.

10.67.

sin

10.68. lim cos3

→ 2

− 2 )

→ 2

(

lim

10.69. lim

cos − sin + 1

10.70. lim

sin − cos

→ 4

cos + sin − 1

→ 4

1 − tg3

10.71.

cos

sin

10.72. lim

→ 4

(

− cos )

cos 2

→ 2

lim

−

2 tg

→2 ( + + 2)

→−1 (2 + + 2).

10.73. lim

10.74.

lim

10.75. lim

1 − cos3

10.76. lim

tg 2

→0

sin 2

→ 2

(sin 4 )

10.77. lim

tg − sin

lim

3 .

10.78.

(sin

− tg ).

→0

10.79. lim

sin 3

10.80. lim

3 + 1

→ sin 2

→∞

√3 2 + 5

√3

√

10.81.

lim

2 + 5

10.82. lim

2 2 + 5

4 + 1

→+∞ + 1

→∞

(1 + )2√

√3

10.83.

lim

9 2 + 2

10.84.

lim

8 6 + 5 − 1

2 3 + 1

→−∞

→+∞ ( + 1)2( − 2)

√3

√

3 + 5 − 1

10.85. lim

+ 1 +

→∞

+ 1

(

) .

10.86.

lim

√

→ ∞

√

+ 1

10.87.

lim

− 7 + 3).

→−∞ (

− 2 − 1 −

10.88.

lim

(

√

→+∞

−

+ 1

− 1

√

10.89.

lim

2 +

→+∞ (

−

− 2

√

10.90. lim

(

− 5 ).

→∞

7 + 5

−

§ 10.3. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва	163

√

10.91. lim

(

−

+ + 1).

→∞

(

√

10.92. lim

− 5

→∞

−

+ 5 ).

[ln ( + 5)

−

ln ].

10.93.

lim

→ ∞

10.94.

lim

[ln

−

ln ( + 2)]. 10.95. lim

ln(1 − 3 )

→+∞

→

10.96. lim

ln( + 2) − ln 2

10.97. lim

ln − 1

→0

→

−

10.98. lim

2 − √

4 − 3

10.99. lim

− 3

→1

sin 7

→7

2 − 49

√√

10.100. lim

+ 12 −

20 −

→4

− 4

10.101. lim

− 2

√ + 2 −

√6 −

→2

2 + 2

10.102. lim1

√

+ 5 −

3 −

→−

√

10.103. lim

− 3 −

9 −

→6

2 − 12

10.104. lim

→0

√ + 3 − √3 − .

√√

10.105. lim	2 − 1 + cos	.
→0	sin2

√√

10.106. lim	1		+ sin −				1 − sin		.
			+ sin −				1 − sin
						tg
→0						tg
	√					− √		.
10.107. lim	√	1	− tg				1 − tg
			− tg				1 − tg
					sin 2
→0					sin 2
10.108. lim			1			5 4

				+ 1 − 2 4 ).
→∞ (2				+ 1 − 2 4 ).

164	Глава 10. Предел и непрерывность функции

Найти постоянные и , удовлетворяющие следующему равенству.

10.109. lim 2 + 1 − − = 0.

→∞ + 1

√

10.110. lim 2 − + 1 − − = 0.

→−∞

√

10.111. lim 2 − + 1 − − = 0.

→+∞

Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности».

10.113. = tg .

10.112. = −

10.114. =

2 .

10.115.

9 −

( + 1)( −

10.116. = 3 −

| |

10.117. =

| +

10.118. = 1 − 2 .

10.119. = 2 −2 .

10.120. =

3 +

10.121. =

3 − 2

2| |

2| − 1|

10.122. =

− 1

10.123. =

3 − 1

2 + + 1

10.124. =

+ 1

+ 11 + 6

+ 6

10.125. =

3 − 6 2 + 11 − 6

2 − 3 + 2

10.126. Функцию =

исследовать на непре-

( − 1)( − 5)

рывность на отрезках: а) [2, 4] ;

б) [4, 10];

в) [0, 7];

г) [6, 10].

10.127. Функцию

исследовать

на

4 − 26 2 + 25

непрерывность на отрезках: а) [−2, 2];

б) [−6, 6];

в) [0, 7];

г) [6, 10].

Г л а в а 11

Производная функции

§ 11.1. Понятие производной

1 . Определение производной. Производной функции =

= ( ) в точке 0 называется предел отношения приращения функ-


ции = ( 0+Δ )− ( 0) к приращению аргумента						при		→ 0.
Производную функции = ( ) в точке обозначают одним из
символов ′( ), ′ или	.
символов ′( ), ′ или	.

Итак, по определению
′( 0) = lim		=	lim	( 0 +	) − ( 0)		.	(11.1)
′( 0) = lim		=	lim				.	(11.1)
→0			→0

Операцию вычисления производной принято называть дифференцированием.

П р и м е р 11.1. Исходя из определения производной, найти производную функции = sin .

Р е ш е н и е. По формуле (11.1) находим:

(sin )′

= lim

lim

sin( +

) − sin

→0

2 sin

cos ( +

)

sin

= lim

lim cos

→0

(

)

= 1 · cos = cos .

166	Глава 11. Производная функции

2 . Основные правила вычисления производной . Если

— постоянная величина и функции = ( ) и = ( ) ̸= 0 имеют

производные, то

( )′ = 0 ,

( · )′ = · ′ ,

( ± )′ = ′ ± ′ ,

( · )′ = ′ · + · ′ ,

′

− · ′

( )

3 Таблица производных.

1. ( )′ = −1,

2. ( )′ = ln

(0 < = 1).

3. ( )′ = .

4. (log

)′

( > 0, 0 < = 1).

5. (ln )′ =

( > 0).

6. (sin )′

= cos .

7. (cos )′

= − sin .

8. (tg )′ =

( ̸=

+ , где = 0, ±1, ±2, . . . ).

cos2

9. (ctg )′

( = , где = 0,

2, . . . ).

−sin2

10. (arcsin )′

−

√1 − 2

(

1 < < 1).

11. (arccos )′

= −

√

(−1 < < 1).

1 −

12. (arctg )′ =

1 + 2 .

13. (arcctg )′

= −

1 + 2 .

П р и м е р 11.2. Используя правила дифференцирования и табли-

цу производных, найти производную функции = .

1 +

§ 11.1. Понятие производной	167

Р е ш е н и е.

′ =

′

( )′ (1 + ) − (1 + )′

1 + )

(

(1 + )2

(1 + ) − (0 + 1)

−

. 2

(1 + )2

Найти производные, пользуясь определением производной.

11.1. = 3.

11.3. = 1 .

11.5. = 2 − 1.

√

11.7. = 3

− 1.

11.9. = ln .

11.11. = cos 3 .

11.13. = cos1 .

11.2. = 2 2 + 1.

11.4. = 2 − 2 − 3.

11.6. = ( + 1)2 .

11.8.1

= √ .

11.10. = sin 2 .

11.12. = ln ( − 3).

11.14. = sin1 .

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найти производные функций.

3							5				2 3
11.15. =		−2 2 +4 −5.				11.16. =			−					+ .
	3						5				3
11.17. = + 2√				.			1	+			1		+		1	.
						11.18. =
											2				3

11.19. = 6√3			− 4√4		.		8					6		.
						11.20. =
							4					3

							√			− √

168	Глава 11. Производная функции

11.21.

11.23.

11.29.

11.31.

11.33.

11.35.

11.37.

11.39.

11.41.

11.43.

11.45.

11.47.

11.49.

=2√ − 1 + √4 3.

=− sin .

=ln − sin + .

=ctg + tg − sin1 .

=( − 1)( 2 + 1).

=√ · (1 − 2 ).

=( +2)·(3 2 +1).

= 2 + 1.

1 − = 1 + .

√

=√ + 1.

=1 + ln .

3 .

= 2 · 2 .

= 2 + 1. 2 sin

sin = .

arctg

2 .

√

11.22. = 2.

11.24. = √ · (1 − 2 ).

11.28. = 2 · cos .

11.30. = 3 · sin .

11.32. = · ln .

11.34. = 1 − .

1 − 2

11.36. = 1 + 2 .

cos

11.38. = 2 .

11.40. = √ .

11.42. = .

11.44.= 3 · .

1 +

11.46.= 1 − .

11.48. =	3	+ 2

		.

√

11.50. = 2 .

§ 11.2. Производная сложной и обратной функций								169

							5
11.51. =	4	.			11.52. =
	2
	2					3 .
						3 .
		·	1 +			log2
11.53. =					11.54. =
11.53. =				2 .	11.54. =		3 .

11.55.= arcsin · √ .

§11.2. Производная сложной и обратной функций

Пусть функция = ( ) имеет производную в точке , а функция = ( ) — в соответствующей точке ( = ( )). Тогда сложная функция = ( ( )) имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле

( [ ( )])′ = ′( ) ′( ).

(11.2)

Пусть функция = ( ) непрерывна, строго монотонна на отрезке [ , ] и имеет конечную не равную нулю производную ′( ) в некоторой точке ( , ). Тогда обратная функция = −1( ) = ( )

также имеет производную в соответствующей точке , определяемую равенством

	′( ) =	1	.	(11.3)
	′( ) =		.	(11.3)
		′( )
П р и м е р 11.3. Найти производную функции = (√					+ 5)3.
П р и м е р 11.3. Найти производную функции = (√					+ 5)3.
Р е ш е н и е. Функцию можно представить в виде					= 3,	где
√

= + 5, поэтому

′ = ( 3)′ = 3 2 · ′ = 3 (√ + 5)2 · (√ + 5)′ =

· (

+ 0) =

3 (√

5)2

= 3 (√ + 5)2

2√

. 2

170	Глава 11. Производная функции

Найти производные сложных функций.

11.56. = ( 2 − 1)3.

11.58. = sin 5 .

11.60. = 3 sin(3 + 5).

√

11.62. = 3 (4 + 3 )2.

11.64. = sin4 .

11.66. = sin2 . cos

√

11.68. =

1 + cos2 .

11.70. = tg3 − 3 tg 3 + 3 2.

11.71. =

(1 + cos 4 )5 .

√

11.72. =

2 − 1.

11.74. = 2 1− .

11.76. = 24 .

√

11.78.= 1 + 2 tg .

+ 1

11.80.= ln − 1.

11.82. = 102 −2.

11.84. = cos3 3 .

√

11.57. =

2 − 1.

11.59. = 6 cos 3 .

11.61. = (1 − 5 )10.

√

11.63. =	cos 4 .
	√

11.65. = sin 3 .

11.67. = tg +2 1.

11.69. = sin2( 3).

11.73. = 2−1.

11.75. = − 2 .

11.77. = 3 − 3 3 + 3 4 3 .

11.79. = ln( − 1).

√

11.81. = ln .

√

11.83. = +1.

√

11.85. = sin 1 + 2.

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3917 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.07.2019190.98 Кб2Оценка рентабельности и деловой активности.doc
#
24.11.2019166.91 Кб1Очередной ежегодный отпуск.doc
#
20.09.2019174.5 Кб13ОЭБ.docx
#
18.09.20194.36 Mб4ОЭВМиС 2012 все леккции.doc
#
26.03.2016148.51 Кб11П-1 Философия 2014 Каменских.docx
#
26.03.20161.95 Mб355П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике.pdf
#
02.06.201527.11 Кб37Парсонс Т. О понятии политической власти.docx
#
26.03.2016203 Кб12Парсонс, Луман, Бурдье.pdf
#
26.03.201695.69 Кб46ПГ.docx
#
02.06.2015119.4 Кб9Пенская. Билет 17.docx
#
02.06.201583.97 Кб6первая мировая.doc